专题09 平面向量-2021年新高考数学重难点专题培优

培优9 平面向量 一、平面向量的线性运算与共线定理 例1：在 中， ， 是直线 上一点，若 ， 则实数 ． 二、平面向量的基本定理（三角形的四心问题） 例2：已知 ， ， 是平面内不共线三点， 是 的外心，动点 满足 ，则 的轨迹一定通过 的（ ） A．内心 B．垂心 C．外心 D．重心 三、平面向量的建系坐标化应用 例3：已知 是边长为 的正六边形 内的一点，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 四、平面向量的数量积 例4：如图在矩形 中， ， ，点 为 的中点，点 在 上，若 ，则 的值是（ ） A． B． C． D． 五、平面向量与三角函数结合 例5：已知 ， ， ． （1）求函数 的解析式，及 的最小正周期； （2）当 时，函数 的最大值为 ，求此函数 的最小值． 增分训练 一、选择题 1．已知向量 ，其中 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 2．在 中， 是 边所在直线上任意一点，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 3．若 为 所在平面内一点，且满足 ，则 的形状为（ ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 4．如图，在 中， ， ， 为 上一点，且满足 ，若 的面积为 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 5．已知 ，且 ， ， ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．已知向量 ， ，若 是实数，且 ， 则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 7．设 ， ， 分别是 的内角 ， ， 的对边，已知 ，设 是 边的中点，且 的面积为 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 8． 是平面上定点， 是平面内不共线三点，动点 满足 ， ，则 的轨迹一定通过 的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 9．已知 ， ， ， ；若 是 所在平面内一点，且 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．在平行四边形 中， 分别是 ， 的中点， 交 于点 ，记 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 11．（多选题）在 中，若 ，则下列说法错误的是（ ） A． 是 的外心 B． 是 的内心 C． 是 的重心 D． 是 的垂心 12．（多选题）在 中，下列命题正确的是（ ） A． B． C．点 为 内一点，且 ，则 为等腰三角形 D． ，则 为锐角三角形 二、填空题 13．已知 ， 是单位向量， ， ， ， ，若 ，则实数 ；若 ， ， 三点共线，则实数 ． 14．如图， 是半径为 的圆 的直径， 是圆 上异于的 ， 一点， 是线段 上靠近 的三等分点，且 ，则 的值为 ． 三、解答题 15．已知向量 ， ． （1）设 ，求 在 上的减区间； （2）若 ，向量 与 共线，且 为第二象限角，求 ． 16．已知函数 ，其中 ， ， ． （1）求函数 的单调递减区间； （2）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， ， 且向量 与向量 共线，求 的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 培优9 平面向量 一、平面向量的线性运算与共线定理 例1：在 中， ， 是直线 上一点，若 ， 则实数 ． 【答案】 【解析】因为 ，所以 ， 因为 是直线 上的一点，所以设 ，则 ， 即 ， 则 ， ． 二、平面向量的基本定理（三角形的四心问题） 例2：已知 ， ， 是平面内不共线三点， 是 的外心，动点 满足 ，则 的轨迹一定通过 的（ ） A．内心 B．垂心 C．外心 D．重心 【答案】D 【解析】取 边的中点 ，则 ， 由 ， 可得 ， 所以 ， 即点 的轨迹为三角形中 边上的中线，故选D． 三、平面向量的建系坐标化应用 例3：已知 是边长为 的正六边形 内的一点，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，建立平面直角坐标系 ， 由题意知 ， ， ， ， 设 ，则 ， ∵ ，∴ ， ∴ 的取值范围是 ． 四、平面向量的数量积 例4：如图在矩形 中， ， ，点 为 的中点，点 在 上，若 ，则 的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】选基向量 和 ，由题意得 ， ， ， ∴ ， ∴ ， 即 ，解得 ， ∵点 为 的中点， ， ∴ ， ， ∴ ． 五、平面向量与三角函数结合 例5：已知 ， ， ． （1）求函数 的解析式，及 的最小正周期； （2）当 时，函数 的最大值为 ，求此函数 的最小值． 【答案】（1）