专题07 导数中的恒成立问题-2021年新高考数学重难点专题培优

培优7 导数中的恒成立问题 一、证明不等式恒成立 例1：已知函数 ． （1）当 时，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围； （2）若 ，证明： ． 二、根据不等式恒成立求参数最值 例2：若对 ， ， 恒成立，则实数a的最小值为（ ） A． B．1 C． D． 三、不等式恒成立求参数取值范围 例3：已知函数 ． （1）讨论函数 的单调性； （2）若函数 恒成立，求实数 的取值范围． 增分训练 一、选择题 1．已知函数 ，对任意 ，不等式 恒成立，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．若函数 有两个不同的极值点 ， ，且不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．已知函数 ，若 恒成立，则满足条件的实数 的个数为（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 4．已知函数 ，若 在 上恒成立，则实数a的最小值为（ ） A． B． C． D． 5．设 ，若 ， 恒成立，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．已知函数 ， ，当 时，关于 的不等式 恒成立，则实数 的最小值为（ ） A． B． C． D． 7．（多选题）定义在 上的函数 满足 ， ，则下列说法正确的是（ ） A． 在 处取得极小值，极小值为 B． 只有一个零点 C．若 在 上恒成立，则 D． 8．（多选题）设函数 ， ，给定下列命题，正确的是（ ） A．不等式 的解集为 B．函数 在 单调递增，在 单调递减 C．若 时，总有 恒成立，则 D．若函数 有两个极值点，则实数 二、填空题 9．若对 ，不等式 恒成立，则实数 的最大值为______． 10．设 ，当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是______． 11．不等式 对于任意正实数 恒成立，则实数 的取值范围是______． 12．若关于x的不等式 恒成立，则 的最大值是________． 三、解答题 13．已知函数 ， ， ． （1）求函数 的极值点； （2）若 恒成立，求 的取值范围． 14．已知函数 ． （1）讨论函数 的单调性； （2）若函数 有两个极值点 ， EMBED Equation.DSMT4 ．且不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 15．已知函数 （ ）． （1）当 时，求函数 的最小值； （2）若 时， ，求实数 的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 培优7 导数中的恒成立问题 一、证明不等式恒成立 例1：已知函数 ． （1）当 时，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围； （2）若 ，证明： ． 【答案】（1） ；（2）证明见解析． 【解析】（1）由条件得 ，令 ，则 ． ①当 时，在 上， ， 单调递增， ∴ ，即 ， ∴ 在 上为增函数，∴ ，∴ 时满足条件； ②当 时，令 ，解得 ， 在 上， ， 单调递减， ∴当 时，有 ，即 ， 在 上为减函数，∴ ，不合题意， 综上实数 的取值范围为 ． （2）由（1）得，当 ， 时， ，即 ， 要证不等式 ，只需证明 ， 只需证明 ，只需证 ， 设 ，则 ， ∴当 时， 恒成立，故 在 上单调递增， 又 ，∴ 恒成立，∴原不等式成立． 二、根据不等式恒成立求参数最值 例2：若对 ， ， 恒成立，则实数a的最小值为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】 ， 所以对 ， ， 恒成立， 等价于 ， 恒成立，即 ， 成立， 令 ，则 ， 于是当 时， ；当 时， ， 即函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减， 所以 ，因此 ，即实数 的最小值为 ， 故选D． 三、不等式恒成立求参数取值范围 例3：已知函数 ． （1）讨论函数 的单调性； （2）若函数 恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2） ． 【解析】（1）函数 的定义域为 ， ． 1）当 时， ， 所以函数 在 单调递减，在 单调递增； 2）当 时， ，且方程 有两根 ， ． ①当 时， ， 所以函数 在 单调递减，在 ， 单调递增； ②当 时， ， 所以函数 在 ， 单调递减，在 单调递增． 综上，当 时，函数 在 单调递减、在 单调递增； 当 时，函数 在 单调递减、在 ， 单调递增； 当 时，函数 在 ， 单调递减、在 单调递增． （2）函数 恒成立，即 ，即 ， 设函数 ，则 ， 令 ，解得 ， 所以函数 在 单调递减，在 单调递增， 所以函数 的最小值 ，所以 ， 所以 的取值范围是 ． 增分训练 一、选择题 1．已知函数 ，对任意 ，不等式 恒成立，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 ，所以 ． 当 时，对任意的 ， ， ，有 ； 当 时， ，恒有 ， 所以