专题06 导数中的构造函数问题-2021年新高考数学重难点专题培优

培优6 导数中的构造函数问题 一、直接构造 例1：设函数 ， 在 上均可导，且 ，则当 时，有（ ） A． B． C． D． 二、根据题意或选项的提示构造函数 1．当题意中出现 时，“ ”对应的原函数是 ，“ ”对应的原函数是 ． 例2：已知定义域为 的奇函数 的导函数为 ，当 时， ，若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系正确的是（ ） A． B． C． D． 2．当题意中出现 时，“ ”需要构造函数 ，“ ”需要构造函数 ． 例3：已知函数 的导函数为 ，若 ， ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 3．复杂构造，是对题意条件所给函数关系进行深入分析，研究其结构特征关系，构造出新函数，从而达到解决问题的目的． 例4：设函数 满足 ， ，则当 时， （ ） A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值 增分训练 一、选择题 1．定义在 上的函数 的导函数 满足 ， 则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 2．已知定义在 上的函数 的导函数为 ， 且 ，若对任意 ， 恒成立，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 3．已知函数 的定义域为 ， ，对任意 ， ，则 的解集为（ ） A． B． C． D． 4．已知定义域为 的偶函数 ，其导函数为 ，对任意 ，均满足： ．若 ，则不等式 的解集是（ ） A． B． C． D． 5．设 是定义在 上的函数，其导函数为 ，若 ， ， 则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 6．（多选题）已知定义在 上的函数 ， 是 的导函数，且恒有 成立，则（ ） A． B． C． D． 7．（多选题）定义在 上的函数 的导函数为 ，且 对 恒成立，则下列选项不正确的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 8．已知定义在 上的函数 的导函数为 ，若对任意的实数 ， 恒成立，且 ，则不等式 的解集为 ． 9．若对于任意的 ，都有 ，则 的最大值为 ． 10．设函数 是偶函数 的导函数， ，当 时， ，则使得 成立的 的取值范围是__________． 三、解答题 11．已知函数 ， ． （1）若 的图像在 处的切线经过点 ，求 的值； （2）当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围． 12．已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ． （1）求 、 的值； （2）求证：当 ， 时，不等式 恒成立． 13．已知函数 ． （1）求曲线 在点 处的切线方程． （2）若正实数 ， 满足 ，求证： ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 培优6 导数中的构造函数问题 一、直接构造 例1：设函数 ， 在 上均可导，且 ，则当 时，有（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 ，即 ， 所以函数 在 上单调递减， 所以 ，所以 ． 二、根据题意或选项的提示构造函数 1．当题意中出现 时，“ ”对应的原函数是 ，“ ”对应的原函数是 ． 例2：已知定义域为 的奇函数 的导函数为 ，当 时， ，若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设 ， ， 因为当 时， ，所以函数 在 上单调递减， 因为 是 上的奇函数，所以 ， ， ， ， 因为 ，所以 ，即 ． 2．当题意中出现 时，“ ”需要构造函数 ，“ ”需要构造函数 ． 例3：已知函数 的导函数为 ，若 ， ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 ，所以构造函数 ， ，所以 在 上单调递增， ． 因为 ，所以 ，即 ，所以 ． 3．复杂构造，是对题意条件所给函数关系进行深入分析，研究其结构特征关系，构造出新函数，从而达到解决问题的目的． 例4：设函数 满足 ， ，则当 时， （ ） A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值 【答案】D 【解析】因为 ，所以 ，所以 ， 则 ， ． 令 ，则 ， 当 ，则 ；当 ，则 ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 因为 ，所以 ， 所以 在 上恒成立，即 在 上无极大值也无极小值． 增分训练 一、选择题 1．定义在 上的函数 的导函数 满足 ， 则下列判断正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由 ， 得 ． 设 ，则 ，故 在 上单调递减， 则 ，即 ，即 ． 2．已知定义在 上的函数 的导函数为 ， 且 ，若对任意 ， 恒成立，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析