专题05 导数的应用-2021年新高考数学重难点专题培优

培优5 导数的应用 一、函数的单调性应用 例1：已知定义域为 的偶函数 的导函数为 ，当 时， ． 若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 例2：若函数 在 上单调递减，则 的取值范围为________． 二、利用导数研究函数极值问题 例3：设函数 ． （1）若曲线 在点 处的切线与 轴平行，求 ； （2）若 在 处取得极小值，求 的取值范围． 三、利用导数解决函数最值问题 例4：已知函数 ，其中 为常数． （1）当 时，求 的最大值； （2）若 在区间 上的最大值为 ，求 的值． 四、判断函数零点个数问题 例5：已知二次函数 的最小值为 ，且关于 的不等式 的解集为 ． （1）求函数 的解析式； （2）求函数 的零点个数． 五、由函数零点个数求解参数取值范围问题 例6：已知函数 ． （1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程； （2）若 只有一个零点 ，且 ，求 的取值范围． 增分训练 一、选择题 1．函数 的导函数 有下列信息：① 时， ；② 时， 或 ；③ 时， 或 ．则函数 的大致图象是（ ） A． B． C． D． 2． 是定义在 上的非负可导函数，且满足 ，对任意正数 ， ，若 ，则必有（ ） A． B． C． D． 3．已知函数 在其定义域 内既有极大值也有极小值，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．若函数 存在 个极值点，则称 为 折函数，例如 为 折函数．已知函数 ，则 为（ ） A． 折函数 B． 折函数 C． 折函数 D． 折函数 二、填空题 5．若对任意 ， 满足 ，都有 ，则 的最大值为________． 6．已知函数 ( 是自然对数的底数)，则 的极大值为________． 三、解答题 7．已知函数 ． （1）求 的单调区间； （2）设 的两个不同的零点是 ， ，求证： ． 8．已知函数 ( 为自然对数的底数)． （1）求函数 的极值； （2）问：是否存在实数 ，使得 有两个相异零点？若存在，求出 的取值范围； 若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 培优5 导数的应用 一、函数的单调性应用 例1：已知定义域为 的偶函数 的导函数为 ，当 时， ． 若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设 ，则 ， 又当 时， ，所以 ， 即函数 在区间 内单调递减． 因为 为 上的偶函数，所以 为 上的奇函数， 所以函数 在区间 内单调递减， 由 ，可得 ，即 ． 例2：若函数 在 上单调递减，则 的取值范围为________． 【答案】 【解析】因为 在 上单调递减，所以当 时， 恒成立， 即 恒成立． 令 ，则由题意可知，只需 ，而 ， 因为 ，所以 ， 所以 (此时 )，所以 ， 又因为 ，所以 的取值范围是 ． 二、利用导数研究函数极值问题 例3：设函数 ． （1）若曲线 在点 处的切线与 轴平行，求 ； （2）若 在 处取得极小值，求 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）因为 ， 所以 ，所以 ． 由题设知 ，即 ，解得 ， 此时 ，所以 的值为 ． （2）由（1）得 ， 若 ，则当 时， ；当 时， ， 所以 在 处取得极小值； 若 ，则当 时， ， ，所以 ， 所以 不是 的极小值点， 综上可知， 的取值范围是 ． 三、利用导数解决函数最值问题 例4：已知函数 ，其中 为常数． （1）当 时，求 的最大值； （2）若 在区间 上的最大值为 ，求 的值． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）易知 的定义域为 ， 当 时， ， ，令 ，得 ． 当 时， ；当 时， ． ∴ 在 上是增函数，在 上是减函数，∴ ． ∴当 时，函数 在 上的最大值为 ． （2） ， ， ． ①若 ，则 ，从而 在 上是增函数， ∴ ，不合题意； ②若 ，令 ，得 ，结合 ，解得 ； 令 ，得 ，结合 ，解得 ． 从而 在 上为增函数，在 上为减函数， ∴ ． 令 ，得 ，即 ． ∵ ，∴ 为所求，故实数 的值为 ． 四、判断函数零点个数问题 例5：已知二次函数 的最小值为 ，且关于 的不等式 的解集为 ． （1）求函数 的解析式； （2）求函数 的零点个数． 【答案】（1） ；（2）仅有 个零点． 【解析】（1）∵ 是二次函数，且关于 的不等式 的解集为 ， ∴设 ，且 ， ∴ ， ， 故函数 的解析式为 ． （2）由（1）知 ， ∴ 的定义域为 ， ， 令 ，得 ， ． 当 变化时， ， 的取值变化情况如下表： ＋ － ＋ ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 当 时， ；