专题04 抽象函数及应用-2021年新高考数学重难点专题培优

培优4 抽象函数及应用 一、抽象函数单调性的应用 例1：（多选题）函数 为奇函数且当 时， 单调递减，若 ，则下列满足不等式的实数 的取值范围有（ ） A． B． C． D． 二、抽象函数奇偶性的应用 例2：已知 是定义在 上的奇函数，且 ，则函数 的零点个数至少为（ ） A． B． C． D． 三、抽象函数周期性的应用 例3：已知 是定义域为 的奇函数，满足 ．若 ，则 （ ） A． B． C． D． 增分训练 一、选择题 1．命题 ：若存在 且 ，对任意的 ，有 恒成立；已知命题 ： 单调递减，且 恒成立；命题 ： 单调递增，且存在 使 ．则下列说法正确的是（ ） A． ， 都是 的充分条件 B． ， 都不是 的充分条件 C．只有 是 的充分条件 D．只有 是 的充分条件 2．若定义在 的奇函数 在 单调递减，且 ，则满足 的 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．已知函数 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增，则（ ） A． B． C． D． 4．设函数 对不为零的一切实数 均有 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 5．函数 为定义在 上的奇函数，当 时， 单调递增．若 ， 则满足 的 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．设 是定义在 上的增函数， ，那么 必为（ ） A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数 C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数 7．（多选题）若 ， 分别为定义在 上的奇函数，偶函数，则（ ） A． 为奇函数 B． 为奇函数 C． 为偶函数 D． 为偶函数 8．（多选题）函数 定义域为 ，满足：存在 ， ，对任意 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题 9．设 ，若存在定义域为 的函数 满足：①对任意 ， 的值为 或 ；②关于 的方程 无实数解，则 的取值范围是__________． 10．把函数 的图象向右平移_______个单位得到函数 的图象． 11．已知定义在 上的偶函数 在 上单调递减， ． 若 ，则 的取值范围为________． 12．已知 是定义在 上的奇函数， 是偶函数，则 __________． 13．已知函数 是 上的奇函数，则函数 的图象经过的定点 为__________． 14．已知函数 为奇函数，若 ，则 __________， __________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 培优4 抽象函数及应用 一、抽象函数单调性的应用 例1：（多选题）函数 为奇函数且当 时， 单调递减，若 ，则下列满足不等式的实数 的取值范围有（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】依题意， 是单调递减函数， ，解得 ． 二、抽象函数奇偶性的应用 例2：已知 是定义在 上的奇函数，且 ，则函数 的零点个数至少为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵ 是定义在 上的奇函数， ∴ ，且 的零点关于原点对称，∴零点个数为奇数，排除B、D； 又 ，∴ ， ， ∴ ， ， ∴ 的零点至少为 ， ， ，共 个． 三、抽象函数周期性的应用 例3：已知 是定义域为 的奇函数，满足 ．若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， ∴函数周期为 ． ∵ ， ， ， ，∴ ， ∴ ． 增分训练 一、选择题 1．命题 ：若存在 且 ，对任意的 ，有 恒成立；已知命题 ： 单调递减，且 恒成立；命题 ： 单调递增，且存在 使 ．则下列说法正确的是（ ） A． ， 都是 的充分条件 B． ， 都不是 的充分条件 C．只有 是 的充分条件 D．只有 是 的充分条件 【答案】A 【解析】若 成立，取 ，则 ，取 ，则 ， 故 成立，所以 是 的充分条件； 若 成立，取 ，使 ， 由于 且 单调递增，取 ， 有 ， 即 ，所以 是 的充分条件． 2．若定义在 的奇函数 在 单调递减，且 ，则满足 的 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵ 为 上奇函数，在 单调递减，∴ ，在 上单调递减． ∵ ，∴ ， 由 ，得 或 ，解得 或 ， ∴ 的取值范围是 ，∴选D． 3．已知函数 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，函数 是定义在 上的偶函数，则 ， ，有 ， 又由 在 上单调递增，则有 ，故选C． 4．设函数 对不为零的一切实数 均有 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答