专题03 函数零点-2021年新高考数学重难点专题培优

培优3 函数零点 一、零点存在性定理的应用 例1：函数 的一个零点在区间 内，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、函数零点个数的判定 例2：（多选题）已知函数 ，下列是关于函数 的 零点个数的判断，其中正确的是（ ） A．当 时，有 个零点 B．当 时，有 个零点 C．当 时，有 个零点 D．当 时，有 个零点 三、求函数零点 例3：已知定义在 上的奇函数 满足 ，当 时， ，则函数 在区间 上所有零点之和（ ） A． B． C． D． 四、复合函数零点的问题 例4：已知函数 ，若关于 的方程 有且只有两个不同实数根，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 增分训练 一、选择题 1．函数 的零点一定位于区间（ ） A． B． C． D． 2．函数 在 上的所有零点之和等于（ ） A． B． C． D． 3．已知函数 ( 为自然对数的底数)，若 的零点为 ，极值点为 ，则 （ ） A． B． C． D． 4．已知函数 ．若函数 有 个 零点，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．（多选题）设函数 ，若函数 有三个零点 ，则下列说法正确的是（ ） A． 的值为 B． 的值为 C． 的值无法确定 D． 6．（多选题）定义在 上的函数 满足下列两个条件： ①对任意的 恒有 成立； ②当 时， ． 令函数 ，若函数 与 轴恰有两个交点，则实数 的取值描述中正确的是（ ） A． 的最大值为 B． 的最小值为 C． D． 二、填空题 7．已知函数 是定义域为 的奇函数，且当 时， ，则函数 有 个零点． 8．设 ，若函数 在区间 上有三个零点，则实数 的取值范围是 ． 9．设函数 ，若函数 有三个零点 ，则 ________， _______． 三、解答题 10．已知函数 ． （1）当 时，求 的最值； （2）讨论 的零点个数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 培优3 函数零点 一、零点存在性定理的应用 例1：函数 的一个零点在区间 内，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题，显然函数 在区间 内连续， 因为 的一个零点在区间 内，所以 ， 即 ，解得 ． 二、函数零点个数的判定 例2：（多选题）已知函数 ，下列是关于函数 的 零点个数的判断，其中正确的是（ ） A．当 时，有 个零点 B．当 时，有 个零点 C．当 时，有 个零点 D．当 时，有 个零点 【答案】CD 【解析】由题意可知， ， 当 时：若 ，则 ， ① 时，有 ，解得 ； ② 时，有 ，解得 ． 若 ，则 ， ① 时，有 ，解得 ； ② 时，有 ，解得 ． 故当 时，有 个零点，C正确， 当 时：若 ，则 ，有 ，解得 ， 因为 ，所以不满足 ，舍去； 若 ，则 ， ① 时，有 ，无解； ② 时，有 ，解得 ， 故当 时，有 个零点，D正确． 三、求函数零点 例3：已知定义在 上的奇函数 满足 ，当 时， ，则函数 在区间 上所有零点之和（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据奇函数 满足 ，可知其周期为 ， ∵函数 的一条对称轴为 ， 可由 向右平移 个单位得到， 在同一坐标系作出 与 的图象如图： 根据图象可知函数 与 的图象均关于点 对称， 且函数 与 的图象在区间 上有四个交点， 所以函数 在区间 上所有零点之和为 ，故选D． 四、复合函数零点的问题 例4：已知函数 ，若关于 的方程 有且只有两个不同实数根，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当 时， ，则 ， ， 函数在 上单调递增，在 上单调递减，画出函数图象，如图所示， ，即 ， 当 时，根据图象知有 个解，故 有 个解， 根据图象知 ． 增分训练 一、选择题 1．函数 的零点一定位于区间（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易知函数 在其定义域上是增函数， 因为 ， ， 所以函数 的零点一定位于区间 内，故选B． 2．函数 在 上的所有零点之和等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由 ，得 ， 分别作出函数 与 的图象， 由图象可知函数的对称性，可知两函数图象均关于 对称， 由图可知，函数 在 上的所有零点之和， 等于 ， 故选D． 3．已知函数 ( 为自然对数的底数)，若 的零点为 ，极值点为 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵ ， ∵当 时， ，即 ，解得 ； 当 时， 恒成立， ∴ 的零点为 ，∴ ． 又当 时， 为增函数，故在 上无极值点； 当 时， ， ， 当 时