专题01 基本不等式及应用-2021年新高考数学重难点专题培优

培优1 基本不等式及应用 基本不等式比较大小 例1：若 ， ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 由基本不等式证明不等式关系 例2：已知 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 基本不等式求最值 例3：已知 ， ， ， ，则 的（ ） A．最大值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为 基本不等式的应用 例4：已知 ，且 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 增分训练 一、选择题 1．若 ，则下列不等式：① ；② ；③ ；④ 中，正确的不等式是（ ） A．①④ B．②③ C．①② D．③④ 2．下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 3．设 ， ，则 的大小关系是（ ） A． B． C． D．不确定 4．对于实数 、 、 ，下列说法：①若 ，则 ；②若 ，则 ；③若 ， ，则 ；④若 且 ，则 的最小值是 ，正确的个数为（ ） A． B． C． D． 5．若 ，且 ，则下列不等式中，恒成立的是（ ） A． B． C． D． 6．若 ，则下列结论中不恒成立的是（ ） A． B． C． D． 7．已知四边形 是边长为 的正方形， 为对角线 上一点，则 的最小值是（ ） A． B． C． D． 8．若 ，使得 成立，则实数 的最大值为（ ） A． B． C． D． 9．若关于 的方程 有解，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．玉溪某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 元，若每批生产 件，则平均仓储时间为 天，且每件产品每天的仓储费用为 元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（ ） A． 件 B． 件 C． 件 D． 件 11．（多选题）若 且 ，则（ ） A． B． C． D． 12．（多选题）下列结论正确的是（ ） A．当 时， B．当 时， 的最小值是 C．当 时， 的最小值是 D．设 ， ，且 ，则 的最小值是 13．（多选题）若正实数 ， 满足 ，则下列选项中正确的是（ ） A． 有最大值 B． 有最大值 C． D． 有最小值 二、填空题 14．正数 ， 满足 ，则 的取值范围是________． 15．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长 为 ( )． 16．设正数 满足 ，则 的取值范围是_______． 17．已知 ， 都是正数，且 ，则 的最大值是________， 的最小值是________． 三、解答题 18．已知 ， ， ． （1）求 的最小值； （2）是否存在 ， 满足 ？并说明理由． 19．已知函数 ． （1）当 时，求函数 的最小值； （2）若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围． 20．投资商到一开发区投资 万元建起一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出 万元，以后每年支出增加 万元，从第一年起每年蔬菜销售收入 万元，设 表示前 年的纯利润总和（ 前 年总收入-前 年的总支出-投资额 万元） （1）该厂从第几年开始盈利？ （2）该厂第几年平均纯利润达到最大？并求出年平均纯利润的最大值． 21．（1）若正数 ， 满足 ，求 的最小值； （2）若正数 ， 满足 ，求 的取值范围． 22．由于浓酸泄漏对河流形成了污染，现决定向河中投入固体碱， 个单位的固体碱在水中逐步溶化，水中的碱浓度 与时间 的关系，可近似地表示为 ，只有当河流中碱的浓度不低于 时，才能对污染产生有效的抑制作用． （1）如果只投放 个单位的固体碱，则能够维持有效抑制作用的时间有多长？ （2）当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放 个单位的固体碱，此后，每一时刻河中的碱浓度认为是各次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和，求河中碱浓度可能取得的最大值． 23．（1）已知不等式 的解集为 ，求 的最小值． （2）若正数 满足 ，求证： ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 培优1 基本不等式及应用 基本不等式比较大小 例1：若 ， ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 ，所以 ，则 ， 因为 ，所以等号不成立，即 ， 因为 ，所以 ， 所以 ，故选A 由基本不等式证明不等式关系 例2：已知 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意 ， ， 对于A，当 时， ，故A错误； 对于B，当 时， ，故B错误； 对于C，由 ， ， ， 所以 ， ，故C正确； 对于D，取 ，可得 ，故D错误， 故选C． 基本不等式求最值 例3：已知 ， ， ， ，则