河南省郑州市2021届高中毕业年级第一次质量检测理科数学试题 （扫描版，含答案）

$$ 第 1页（共 4页） 2020-2021 学年高三数学一测理科评分参考 一、选择题（共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C B D A D D B A C D B 二、填空题(共 20 分) 13. 4； 14. ( − ∞,2)； 15. 3； 16. ��� . 2020/11/17 21:51:37；用户：； 三、解答题（共 70 分） 17.解：（1）在 ABC△ 中，因为 b = �,⸹ = 2,�� = Ꮝ��， 由余弦定理b2 = �2 � ⸹2 − 2�⸹⸹ܿ��，………………2 分 得 2 25 2 2 2 2 a a      ，化简得 2 2 3 0a a   ……………4 分 所以 3,a  或 1.a   （舍）………………6 分 （2）在 ABC△ 中，由正弦定理 � �ଐᏍ� = ⸹ �ଐᏍ� ， 得 � sinᏍ�� = 2 �ଐᏍ� ,所以 sinC = � � ……………… 8 分 在 ADC△ 中，因为 cos�ADC =− Ꮝ � ,所以��ଐ� 为钝角， 而��ଐ� � �� � ���ଐ = �ൌ��,所以�� 为锐角. 故 cosC = � − sin2� = 2 � � ， …………………10 分 因为 cos�ADC =− Ꮝ � ，所以 sin�ADC = � � . …………………11 分 从而 sin�DAC = sin (�ADC � �C) = 2 � 2� ………………12 分 18.(Ⅰ)证明：如图所示，取 AC 的中点 O，连接 BO，OD． ∵△ABC 是等边三角形，∴OB⊥AC．…………………1 分 △ABD 与△CBD 中，AB=BD=BC，∠ABD=∠CBD，∴△ABD≌△CBD，∴AD = CD． ∵△ACD 是直角三角形，∴AC 是斜边，∴∠ADC=90°． ∴DO = � 2 ��．∴DO2 � ��2 = ��2 = �ଐ2．∴OB ⊥ OD. ………………3 分 又 DO ∩ AC = O，∴OB ⊥ 平面 ACD……………4 分 又 OB ⊂ 平面 ABC，∴平面 ABC ⊥ 平面 ACD. ………………6 分 (Ⅱ)由题知，点 E 是 BD 的三等分点．建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取 AB=2． 则 O（0，0，0），A（1，0，0），C（− �，0，0），D（0，0，1），B（0， �，0），E（�， � � , � � ）． 第 2页（共 4页） AD� ���� = ( − �,�,�)，AE� ��� = − �, � � , 2 � ，AC� ��� = ( − 2,�,�)．……………8 分 设平面 ADE 的法向量为�� �� = (��,��,��)，则 �� �� � �ଐ� ���� = � �� �� � ��� ���� = � ，即 − �� � �� = � − �� � � � �� � 2 � �� = � ， 取�� �� = (�, �,�)．同理可得：平面 ACE 的法向量为n�� = (�,�, − � 2 )．………………10 分 � ⸹ܿ� � �� �� ,Ꮝ�� �= �� �� �Ꮝ�� ���� �Ꮝ��� =− � � ． ∴二面角 D﹣AE﹣C 的余弦值为� � ．………………12 分 19.(Ⅰ)解：由题意可知 ⸹ � = 2 2 ， Ꮝ �2 � � �2 = �，�2 = �2 � ⸹2， 解得�2 = �，�2 = �，所以椭圆方程为� 2 � � � 2 � = �． …………………4 分 (Ⅱ)证明：设点 �(��,��)，�(�2,�2)，因为 �� ⊥ ��，所以 ��−� ��−2 � �2−� �2−2 =− �， 所以y�y2 − (y� � y2) � � =− x�x2 � 2(x� � x2) − Ꮝ，① 当 k 存在的情况下，设 MN:y = kx � m， 联立 y = kx � m, x2 � 2y2 = � 得(� � 2k2)x2 � Ꮝkmx � 2m2 − � = �， 由Δ � �，得 �k2 − m2 � � � �， 由根与系数的关系得x� � x2 =− Ꮝkm ��2k2 ，x�x2 = 2m2−� ��2k2 ， ………………8 分 所以y� � y2 = k(x� � x2) � 2m = 2m ��2k2 ，y�y2 = k2x�x2 � km(x� � x2) � m2 = m2−�k2 ��2k2 ， 代入①式化简可得 Ꮝk2 � ൌkm � (m − �)(�m � �) = �， 即(2k � m − �)(2k � �m � �)