复习检测卷4 圆锥曲线与方程 提高版 -2020-2021学年高二数学（理科）期末复习检测题（人教A版2-1）

2-1复习专题4圆锥曲线与方程 提高版 一、单选题 1．已知双曲线 的右焦点为F，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，， 且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】 由点A、B关于原点对称，设 ，则 ，利用 ，得 ，再利用 得到关系式 ，再用点C、B在双曲线上，三个式子联立求解得到 ，化简得到 ，即可求得双曲线的离心率. 【详解】 由点A、B关于原点对称，设 ，则 ，设 ， ， ， ，即 ， 利用向量数量积公式得： ，即 ① 又点C、B均在双曲线上， ②， ③ 由①②③可得： 两边同时除以 可得： 两边同时平方得； ，即 又双曲线的离心率 ，则 ，即 故选：B. 【点睛】 关键点点睛：本题考查双曲线的离心率，解题关键是找到关于 的等量关系．本题中利用 得到点C坐标，利用点C、B均在双曲线上，得到关系式，再利用 得到关系式，三个式子联立得到所要求的等量关系，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题． 2．已知抛物线 （ 是正常数）上有两点 ， ，焦点 ， 甲： 乙： 丙： . 丁： 以上是“直线 经过焦点 ”的充要条件有几个（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】 先证明必要性：设过抛物线 ： EMBED Equation.DSMT4 的焦点 的直线为： ，代入抛物线方程得： ，计算 、 、 、 即可判断甲、乙、丙、丁都是必要条件，再设直线 的方程为： ，代入抛物线方程得： ，由韦达定理验证四个结论成立时，实数 的值，即可判断充分性，进而可得正确答案. 【详解】 必要性：设过抛物线 ： EMBED Equation.DSMT4 的焦点 的直线为： ， 代入抛物线方程得： ； 由直线上两点 ， ， 则有 ， ， ， 由 ＝ ， 故：甲、乙、丙、丁都是必要条件， 充分性：设直线 方程为： ，则直线 交 轴于点 ， 抛物线焦点 将直线 的方程与抛物线方程得： ， 由直线上两点 ， ， 对于甲： 若 ， 可得 ，直线 不一定经过焦点 .所以甲条件是“直线 经过焦点 ”的必要不充分条件； 对于乙：若 ，则 ，直线 经过焦点 ，所以乙条件是“直线 经过焦点 ”的充要条件； 对于丙： ，可得 或 ，直线 不一定经过焦点 ，所以丙条件是“直线 经过焦点 ”的必要不充分条件； 对于丁： 可得 ，直线 不一定经过焦点 .所以丁条件是“直线 经过焦点 ”的必要不充分条件； 综上，只有乙正确，正确的结论有1个. 故选：B 【点睛】 结论点睛：抛物线焦点弦的几个常用结论 设 是过抛物线 EMBED Equation.DSMT4 的焦点 的弦，若 ， ，则： （1） ， ； （2）若点 在第一象限，点 在第四象限，则 ， ， 弦长 ，（ 为直线 的倾斜角）； （3） ； （4）以 为直径的圆与准线相切； （5）以 或 为直径的圆与 轴相切. 3．双曲线 的右焦点为 ，设 、 为双曲线上关于原点对称的两点， 的中点为 ， 的中点为 ，若原点 在以线段 为直径的圆上，直线 的斜率为 ，则双曲线的离心率为（ ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】 设 ，则 ，得到 ，根据题设条件，化简得到 ，结合 ，求得 的值，根据离心率的定义，即可求解. 【详解】 设 ，则 ， 因为 的中点为 的中点为 ，所以 ， 因为原点 在线段 为直径的圆上， 所以 ，可得 ，① 又因为点 在双曲线上，且直线 的斜率为 ，所以 ，② 联立消去 ，可得 ，③ 又由点 是双曲线的右焦点，可得 ， 代入③，化简整理得 ，解得 或 ， 由于 ，所以 （舍去）， 故 ，解得 ，所以离心率为 . 故选：B. 【点睛】 求解圆锥曲线的离心率的三种方法： 1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得 得值，根据离心率的定义求解离心率 ； 2、齐次式法：由已知条件得出关于 的二元齐次方程，然后转化为关于 的一元二次方程求解； 3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率. 4．存在过椭圆 左焦点 的弦 ，使得 ，则椭圆C的离心率的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 当 轴 ，即 ，结合 即可求得离心率，②当 不垂直于 轴时，设 的方程为： ，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理求出 和 ，即可求得弦长 EMBED Equation.DSMT4 ，设直线 的倾斜角为 ，化简得到 ，进一步可得 ，利用 的范围，即可取得离心率的最小值. 【详解】 ①当 轴时，有 ，得 ，所以 ，又因为 ， 所以 ，即 ，所以离心率 ， ②当 不垂直于 轴时， ，设 的方程为： ， 代入 得 ， 设 ， ，则 ， ， 由弦长公式知： ， 化简得：