1.4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 (配套Word教参)-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第二册(北师大版)

4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 课程内容标准 学科素养凝练 借助于单位圆理解正弦函数、余弦函数的周期性、单调性、奇偶性和最大(小)值. 通过学习正弦函数、余弦函数的性质，提升数学抽象素养及逻辑推理素养. 一、正弦、余弦函数的性质 正弦函数(y＝sin x) 余弦函数(y＝cos x) 定义域 R 值域 [－1,1] 续表 正弦函数(y＝sin x) 余弦函数(y＝cos x) 最小值 当x＝－eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 当x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 最大值 当x＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1 当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1 周期性 周期函数，最小正周期为 2π 单调性 在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))，k∈Z上是单调递增的； 在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))，k∈Z上是单调递减的 在区间[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上是单调递减的； 在区间[π＋2kπ，2π＋2kπ]，k∈Z上是单调递增的 二、正弦、余弦函数值在各象限的符号 　　　　象限 三角函数　　　 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 sin α ＋ ＋ － － cos α ＋ － － ＋ 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)正弦函数y＝sin x与余弦函数y＝cos x的定义域都是R. (　　) (2)函数y＝sin x在[0，π]上是单调减函数． (　　) (3)函数y＝cos x在第一、三象限函数值为正． (　　) (4)函数y＝sin x的最大值为1，最小值为－1. (　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．当α为第二象限角时，eq \f(|sin α|,sin α)－eq \f(cos α,|cos α|)的值是 (　　) A．1　 B．0　 C．2　 D．－2 C　[∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0. ∴eq \f(|sin α|,sin α)－eq \f(cos α,|cos α|)＝eq \f(sin α,sin α)－eq \f(cos α,－cos α)＝2.] 3．(教材P18练习3改编)函数y＝eq \f(1,1＋cos x)的定义域为 ____________ . eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠)))) eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(2k＋1π，k∈Z))　[由题知1＋cos x≠0，即cos x≠－1.由单位圆可知x的取值为x≠(2k＋1)π，k∈Z，故原函数的定义域为{x|x≠(2k＋1)π，k∈Z}．] 探究一　正弦、余弦函数的定义域 [知能解读]　利用单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质可求一些复合函数的定义域与单调区间，正弦函数、余弦函数的定义域是研究其他一切性质的前提，要树立定义域优先的意识．求正弦函数、余弦函数定义域实际上是解简单的三角不等式． 求下列函数的定义域． (1)y＝ eq \r(2sin x－\r(3))； (2)y＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin x－\f(\r(2),2)))＋eq \r(1－2cos x). 解　(1)自变量x应满足2sin x－eq \r(3)≥0，即sin x≥eq \f(\r(3),2). 图中阴影部分就是满足条件的角x的取值范围， 即eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)≤x≤2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z)))). (2)由题意知，自变量x应满足不等式组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－2cos x≥0，,sin x－\f(\r(2),2)>0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(cos x≤\f(1,2)，,sin x>\f(\r(2),2).)) 则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示． ∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)≤ x <2kπ＋\f(3π,4)，k∈Z)))). [方法总结]　 1．求函数的定义域，就是求使解析式有意