1.5.2 余弦函数的图象与性质再认识 (配套Word教参)-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第二册(北师大版)

5.2　余弦函数的图象与性质再认识 课程内容标准 学科素养凝练 借助单位圆画出余弦函数的图象，并借助余弦函数的图象理解余弦函数在[0,2π]上的性质. 通过画出余弦函数的图象，研究余弦函数的性质，提升数学直观及数学抽象素养. 一、余弦函数的图象 余弦函数y＝cos x，x∈R的图象称作 余弦 曲线． 上图给出了余弦曲线的基本形状． 二、五点(作图)法 1．在一个周期内，以下五个点(0,1)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0)) ，(π，－1)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0)) ，(2π，1)起着关键作用，它们分别表示了余弦曲线与x轴的交点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0)) ， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0)) ，余弦函数取得最大值时的点为(0,1)，(2π，1)，取得最小值时的点为 (π，－1) . 在精确度要求不太高时，常常先描出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们顺次连接起来，就得到余弦函数的简图，这种作余弦曲线的方法称为“ 五点(画图)法 ”． 2．由诱导公式cos x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))，x∈R可知，y＝cos x的图象就是函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))的图象，即余弦函数y＝cos x的图象可以通过将正弦曲线y＝sin x向左平移 eq \f(π,2) 个单位长度得到． 三、余弦函数的性质 函数 y＝cos x，x∈R 定义域 R 值域 [－1,1] 奇偶性 偶函数 周期性 是周期函数，2π为最小正周期 单调性 在x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z上是增函数； 在x∈[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z上是减函数 最大值与最小值 当x＝2kπ，k∈Z时，最大值为 1 ； 当x＝2kπ＋π，k∈Z时，最小值为 －1 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)余弦函数y＝cos x的图象与x轴有无数个交点． (√) (2)余弦函数y＝cos x的图象与y＝sin x的图象形状和位置都不一样． (　　) ×　提示　函数y＝cos x的图象与y＝sin x的图象形状一样，只是位置不同． (3)存在实数x，使得cos x＝eq \r(2). (　　) ×　提示　余弦函数最大值为1. (4)余弦函数y＝cos x在区间[0，π]上是减函数． (　　) √　提示　由余弦函数的单调性可知正确． 2．要得到函数f(x)＝sin x的图象，可以将g(x)＝cos x的图象 (　　) A．向左平移π个单位　 B．向右平移π个单位 C．向左平移eq \f(π,2)个单位 D．向右平移eq \f(π,2)个单位 D　[y＝sin x＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2))).] 3．(多空题)(教材P37练习5改编)当x＝ __________ 时，y＝2－eq \f(1,2)cos x取得最大值 ________ .当x＝ ________ 时，y＝2－eq \f(1,2)cos x取得最小值 ________ . (2k＋1)π(k∈Z)　eq \f(5,2)　2kπ(k∈Z)　eq \f(3,2)　[∵－1≤cos x≤1，∴－eq \f(1,2)≤－eq \f(1,2)cos x≤eq \f(1,2).∵eq \f(3,2)≤2－eq \f(1,2)cos x≤eq \f(5,2).∴当cos x＝1，即x＝2kπ(k∈Z)时，函数取最小值eq \f(3,2)；当cos x＝－1，即x＝(2k＋1)π(k∈Z)时，函数取最大值eq \f(5,2).] 探究一　用“五点法”作余弦函数的图象 [知能解读]　“五点法”画函数图象是一项重要的基本技能，必须熟练掌握，复杂函数的图象可以转化为基本函数来画，也可借助于图象变换的方法，如平移、对称、翻折等，这些将在后文中讲到． 用五点法作函数y＝1－cos x(0≤x≤2π)的简图． 解　列表： x 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π cos x 1 0 －1 0 1 1－cos x 0 1 2 1 0 描点并用光滑的曲线连接起来，如图所示． [方法总结]　作形如y＝acos x＋b，x∈