专题（十一）阅读理解探索题（盐城中考试题分类及江苏各市中考真题题组训练）

专题（十一）阅读理解探索题 （2017）（次压轴题）【探索发现】如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为　 　． 【拓展应用】 如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为　 　．（用含a，h的代数式表示） 【灵活应用】 如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积． 【实际应用】 如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC=，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积． 试题解析: 【分析】【探索发现】：由中位线知EF=BC、ED=AB、由=可得； 【拓展应用】：由△APN∽△ABC知=，可得PN=a﹣PQ，设PQ=x，由S矩形PQMN=PQ•PN═﹣（x﹣）2+，据此可得； 【灵活应用】：添加如图1辅助线，取BF中点I，FG的中点K，由矩形性质知AE=EH=20、CD=DH=16，分别证△AEF≌△HED、△CDG≌△HDE得AF=DH=16、CG=HE=20，从而判断出中位线IK的两端点在线段AB和DE上，利用【探索发现】结论解答即可； 【实际应用】：延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，由tanB=tanC知EB=EC、BH=CH=54，EH=BH=72，继而求得BE=CE=90，可判断中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，利用【拓展应用】结论解答可得． 【解答】解：【探索发现】 ∵EF、ED为△ABC中位线， ∴ED∥AB，EF∥BC，EF=BC，ED=AB， 又∠B=90°， ∴四边形FEDB是矩形， 则===， 故答案为：； 【拓展应用】 ∵PN∥BC， ∴△APN∽△ABC， ∴=，即=， ∴PN=a﹣PQ， 设PQ=x， 则S矩形PQMN=PQ•PN=x（a﹣x）=﹣x2+ax=﹣（x﹣）2+， ∴当PQ=时，S矩形PQMN最大值为， 故答案为：； 【灵活应用】 如图1，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K， 由题意知四边形ABCH是矩形， ∵AB=32，BC=40，AE=20，CD=16， ∴EH=20、DH=16， ∴AE=EH、CD=DH， 在△AEF和△HED中， ∵， ∴△AEF≌△HED（ASA）， ∴AF=DH=16， 同理△CDG≌△HDE， ∴CG=HE=20， ∴BI==24， ∵BI=24＜32， ∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上， 过点K作KL⊥BC于点L， 由【探索发现】知矩形的最大面积为×BG•BF=×（40+20）×（32+16）=720， 答：该矩形的面积为720； 【实际应用】 如图2，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H， ∵tanB=tanC=， ∴∠B=∠C， ∴EB=EC， ∵BC=108cm，且EH⊥BC， ∴BH=CH=BC=54cm， ∵tanB==， ∴EH=BH=×54=72cm， 在Rt△BHE中，BE==90cm， ∵AB=50cm， ∴AE=40cm， ∴BE的中点Q在线段AB上， ∵CD=60cm， ∴ED=30cm， ∴CE的中点P在线段CD上， ∴中位线PQ的两端点在线段AB、CD上， 由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为BC•EH=1944cm2， 答：该矩形的面积为1944cm2． （2018）（次压轴题）【发现】如图①，已知等边，将直角三角形的角顶点任意放在边上（点不与点、重合），使两边分别交线段、于点、. （1）若，，，则_______； （2）求证：. 【思考】若将图①中的三角板的顶点在边上移动，保持三角板与、的两个交点、都存在，连接，如图②所示.问点是否存在某一位置，使平分且平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【探索】如图③，在等腰中，，点为边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点处（其中），使两条边分别交边、于点、（点、均不与的顶点重合），连接.设，则与的周长之比为________（用含的表达式表示）. 试题解析: 【分析】（1）①先求出BE的长度后发现BE=BD的，又∠B=60°，可知△BDE是等边三角形，可得∠BDE=60°，另外∠EDF=60°，可证得△CDF是等边三角形，从