专题（十二）二次函数（盐城中考试题分类及江苏各市中考真题题组训练）

专题（十二）二次函数 （2016）（压轴题）如图1，已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点，且与x轴交于另一点C． （1）求b、c的值； （2）如图1，点D为AC的中点，点E在线段BD上，且BE=2ED，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M的坐标； （3）将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G，连接CG，如图2，P为△ACG内以点，连接PA、PC、PG，分别以AP、AG为边，在他们的左侧作等边△APR，等边△AGQ，连接QR ①求证：PG=RQ； ②求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标． 试题解析: 【分析】（1）把A（﹣3，0），B（0，3）代入抛物线y=﹣x2+bx+c即可解决问题． （2）首先求出A、C、D坐标，根据BE=2ED，求出点E坐标，求出直线CE，利用方程组求交点坐标M． （3）①欲证明PG=QR，只要证明△QAR≌△GAP即可．②当Q、R、P、C共线时，PA+PG+PC最小，作QN⊥OA于N，AM⊥QC于M，PK⊥OA于K，由sin∠ACM==求出AM，CM，利用等边三角形性质求出AP、PM、PC，由此即可解决问题． 【解答】解：（1）∵一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴A（﹣3，0），B（0，3）， ∵抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点， ∴解得， ∴b=﹣2，c=3． （2），对于抛物线y=﹣x2﹣2x+3，令y=0，则﹣x2﹣2x+3=0，解得x=﹣3或1， ∴点C坐标（1，0）， ∵AD=DC=2， ∴点D坐标（﹣1，0）， ∵BE=2ED， ∴点E坐标（﹣，1）， 设直线CE为y=kx+b，把E、C代入得到解得， ∴直线CE为y=﹣x+， 由解得或， ∴点M坐标（﹣，）． （3）①∵△AGQ，△APR是等边三角形， ∴AP=AR，AQ=AG，∠QAC=∠RAP=60°， ∴∠QAR=∠GAP， 在△QAR和△GAP中， ， ∴△QAR≌△GAP， ∴QR=PG． ②如图3中，∵PA+PB+PC=QR+PR+PC=QC， ∴当Q、R、P、C共线时，PA+PG+PC最小， 作QN⊥OA于N，AM⊥QC于M，PK⊥OA于K． ∵∠GAO=60°，AO=3， ∴AG=QG=AQ=6，∠AGO=30°， ∵∠QGA=60°， ∴∠QGO=90°， ∴点Q坐标（﹣6，3）， 在RT△QCN中，QN=3，CN=7，∠QNC=90°， ∴QC==2， ∵sin∠ACM==， ∴AM=， ∵△APR是等边三角形， ∴∠APM=60°，∵PM=PR，cos30°=， ∴AP=，PM=RM= ∴MC==， ∴PC=CM﹣PM=， ∵==， ∴CK=，PK=， ∴OK=CK﹣CO=， ∴点P坐标（﹣，）． ∴PA+PC+PG的最小值为2，此时点P的坐标（﹣，）． （2017）（压轴题）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点D为直线AC上方抛物线上一动点； ①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值； ②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由． 　 试题解析: 【分析】（1）根据题意得到A（﹣4，0），C（0，2）代入y=﹣x2+bx+c，于是得到结论； （2）①如图，令y=0，解方程得到x1=﹣4，x2=1，求得B（1，0），过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，根据相似三角形的性质即可得到结论； ②根据勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，求得P（﹣，0），得到PA=PC=PB=，过D作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延线于G，情况一：如图，∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，情况二，∠FDC=2∠BAC，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：（1）根据题意得A（﹣4，0），C（0，2）， ∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点， ∴， ∴， ∴y=﹣x2﹣x+2； （2）①如图，令y=0， ∴﹣x2﹣x+2=0， ∴x1=﹣4，x2=1， ∴B（1，0）， 过D作DM⊥x轴交AC于点M，过B作BN⊥x轴交于AC于N， ∴DM∥BN， ∴△DME∽△BNE， ∴==， 设D（a，=﹣a2﹣a+2）， ∴M（a，a+2）， ∵B（1.0）， ∴N（1，）， ∴==（a+2）2+； ∴当a=﹣2时，的最大值是； ②∵A（