专题（八）图形证明（盐城中考试题分类及江苏各市中考真题题组训练）

专题（八）四边形证明题 （2017）如图，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由． 试题解析: 【分析】（1）由矩形可得∠ABD=∠CDB，结合BE平分∠ABD、DF平分∠BDC得∠EBD=∠FDB，即可知BE∥DF，根据AD∥BC即可得证； （2）当∠ABE=30°时，四边形BEDF是菱形，由角平分线知∠ABD=2∠ABE=60°、∠EBD=∠ABE=30°，结合∠A=90°可得∠EDB=∠EBD=30°，即EB=ED，即可得证． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥DC、AD∥BC， ∴∠ABD=∠CDB， ∵BE平分∠ABD、DF平分∠BDC， ∴∠EBD=∠ABD，∠FDB=∠BDC， ∴∠EBD=∠FDB， ∴BE∥DF， 又∵AD∥BC， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）当∠ABE=30°时，四边形BEDF是菱形， ∵BE平分∠ABD， ∴∠ABD=2∠ABE=60°，∠EBD=∠ABE=30°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=90°， ∴∠EDB=90°﹣∠ABD=30°， ∴∠EDB=∠EBD=30°， ∴EB=ED， 又∵四边形BEDF是平行四边形， ∴四边形BEDF是菱形． （2018）在正方形中，对角线所在的直线上有两点、满足，连接、、、，如图所示. （1）求证：； （2）试判断四边形的形状，并说明理由. 试题解析: 【分析】（1）由正方形ABCD的性质可得AB=AD，∠ABD=∠ADB=45°，由等角的补角相等可得∠ABE=∠ADF=135°，又由已知BE=DF，根据“SAS”可判定全等；（2）由（1）的全等可得AE=AF，则可猜测四边形AECF是菱形；由（1）的思路可证明△CBE≅△ABE，得到CE=AE；不难证明△CBE≅△ABE，可得CE=AE，则可根据“四条边相等的四边形是菱形”来判定即可。 【解答】（1）解：证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠ABD=∠ADB=45°，则∠ABE=∠ADF=135°，又∵BE=DF， ∴△ABE≅△ADF。 （2）解：解：四边形AECF是菱形。理由如下：由（1）得∴△ABE≅△ADF，∴AE=AF。 在正方形ABCD中，CB=CD，∠CBD=∠CDB=45°，则∠CBE=∠CDF=135°， 双∵BE=DF， ∴△CBE≅△CDF。 ∴CE=CF。 ∵BE=BE，∠CBE=∠ABE=135°，CB=AB， ∴△CBE≅△ABE。 ∴CE=AE， ∴CE=AE=AF=CF， ∴四边形AECF是菱形。 （2019）如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作： （Ⅰ）将矩形纸片沿DF折叠，使点A落在CD边上点E处，如图②； （Ⅱ）在第一次折叠的基础上，过点C再次折叠，使得点B落在边CD上点B′处，如图③，两次折痕交于点O； （Ⅲ）展开纸片，分别连接OB、OE、OC、FD，如图④． 【探究】 （1）证明：△OBC≌△OED； （2）若AB＝8，设BC为x，OB2为y，求y关于x的关系式． 试题解析: 【分析】（1）利用折叠性质，由边角边证明△OBC≌△OED； （2）过点O作OH⊥CD于点H．由（1）△OBC≌△OED，OE＝OB，BC＝x，则AD＝DE＝x，则CE＝8﹣x，OH＝CD＝4，则EH＝CH﹣CE＝4﹣（8﹣x）＝x﹣4在Rt△OHE中，由勾股定理得OE2＝OH2+EH2，即OB2＝42+（x﹣4）2，所以y关于x的关系式：y＝x2﹣8x+32． 【解答】解：（1）证明：由折叠可知，AD＝ED，∠BCO＝∠DCO＝∠ADO＝∠CDO＝45° ∴BC＝DE，∠COD＝90°，OC＝OD， 在△OBC≌△OED中， ， ∴△OBC≌△OED（SAS）； （2）过点O作OH⊥CD于点H． 由（1）△OBC≌△OED， OE＝OB， ∵BC＝x，则AD＝DE＝x， ∴CE＝8﹣x， ∵OC＝OD，∠COD＝90° ∴CH＝CD＝AB＝＝4， OH＝CD＝4， ∴EH＝CH﹣CE＝4﹣（8﹣x）＝x﹣4 在Rt△OHE中，由勾股定理得 OE2＝OH2+EH2， 即OB2＝42+（x﹣4）2， ∴y关于x的关系式：y＝x2﹣8x+32． （2020） 如图，在 中， 的平分线 交 于点 .求 的长？ 试题解析: 【分析】根据∠C＝90°，tanA＝，可求出∠A＝30°，∠ABC＝60°，再根据BD是∠ABC的平分线，求出∠CBD＝∠ABD＝30°，在不同的直角三角形中，根据边角关系求解即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝， ∴∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°，