2.2 第2课时 基本不等式的应用 (配套Word教参)-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第一册(人教A版)

第2课时　基本不等式的应用 课程内容标准 学科素养凝练 1.能用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 2．能够利用基本不等式解决生活中的实际应用题． 通过基本不等式的应用，提升逻辑推理与数学运算的核心素养. 一、应用基本不等式求最值 已知x，y都是正数，则 (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq \r(P)． (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq \f(1,4)S2． 二、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)y＝x＋eq \f(9,x)有最小值6.(×) (2)若a＞0，b＞0，且a＋b＝2，则ab有最大值1.(√) (3)当x＞0时，eq \r(x)＋eq \f(1,\r(x)) ≥2.(√) (4)y＝x2＋eq \f(1,x2＋1)＋3(x＞0)有最小值4.(×) 2．(教材P48练习题1改编)用铁丝围成一个面积为16 cm2的矩形，最少需要铁丝(　B　) A．8 cm　　 B．16 cm 　 C．32 cm 　 D．64 cm 3．已知x＞1，则函数f(x)＝x＋eq \f(2,x－1)的最小值为(　D　) A．2 B．2eq \r(2) C．2eq \r(2)－1 D．2eq \r(2)＋1 4．已知xy＞0，且x＋y＝10，则xy的最大值是________． 答案　25 探究一　利用基本不等式求最值 [知能解读] 1．利用基本不等式求最值的方法和注意点： 对于基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)(a＞0，b＞0) (1)若a＋b为定值S，则ab≤eq \f(S2,4)，即ab有最大值eq \f(S2,4)． (2)若ab为定值P，则a＋b≥2eq \r(P)，即a＋b有最小值2eq \r(P)． 2．应用基本不等式可以求某些函数或代数式的最值，但要注意以下三点： (1)a，b一定为正数． (2)a＋b与ab有一个为定值，才能求另一个的最值． (3)等号必须能取到． 以上三点可简记为“一正、二定、三相等”，且三个条件缺一不可． (1)已知x＞2，求x＋eq \f(4,x－2)的最小值； (2)设0＜x＜eq \f(3,2)，求y＝4x(3－2x)的最大值； (3)已知x＞0，求y＝eq \f(2x,x2＋1)的最大值． 解　(1)∵x＞2，∴x－2＞0，∴x＋eq \f(4,x－2)＝x－2＋eq \f(4,x－2)＋2≥2eq \r(x－2·\f(4,x－2))＋2＝6， 当且仅当x－2＝eq \f(4,x－2)，即x＝4时，等号成立． ∴x＋eq \f(4,x－2)的最小值为6． (2)∵0＜x＜eq \f(3,2)，∴3－2x＞0，∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2x＋3－2x,2)))2＝eq \f(9,2)，当且仅当2x＝3－2x，即x＝eq \f(3,4)时，等号成立．∵0＜eq \f(3,4)＜eq \f(3,2)， ∴y＝4x(3－2x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(3,2)))的最大值为eq \f(9,2)． (3)y＝eq \f(2x,x2＋1)＝eq \f(2,x＋\f(1,x)).因为x＞0，所以x＋eq \f(1,x)≥2 eq \r(x·\f(1,x))＝2，当且仅当x＝eq \f(1,x)即x＝1时等号成立． 所以y≤eq \f(2,2)＝1，所以y＝eq \f(2x,x2＋1)的最大值为1． [方法总结] 1．应用基本不等式求最值，必须按照“一正、二定、三相等”的条件进行，若具备这些条件，可直接应用基本不等式，若不具备这些条件，则应进行适当的变形． 2．利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子进行适当的“拆项、添项、配凑、变形”等，以创设应用基本不等式的条件．具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定，应凑出定和或定积；三不等，一般用函数的图象或性质． [训练1]　已知x＜eq \f(5,4)，求y＝4x－2＋eq \f(1,4x－5)的最大值． 解　因为x＜eq \f(5,4)，所以5－4x＞0， 所以y＝4x－2＋eq \f(1,4x－5) ＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－4x＋\f(1,5－4x)))＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x＝eq \f(1,5－4x)，即x＝1时，上式等号成立， 故当x＝1时，ymax＝1． 探究二　给定两变量关系的