2.3 第2课时 二次函数与一元二次方程、不等式的应用 (配套Word教参)-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学必修第一册(人教A版)

第2课时　二次函数与一元二次方程、不等式的应用 课程内容标准 学科素养凝练 1.理解一元二次不等式的解集是实数集R和空集∅的含义，通过三个“二次间的关系”解简单一元二次不等式恒成立问题． 2．会建立实际情况中的一元二次不等式模型，并会利用此模型解决实际问题． 通过一元二次不等式的解集是实数集R和空集∅的含义，增强逻辑推理与直观想象的核心素养；通过一元二次不等式模型的应用，提升数学建模与数学运算的核心素养. 一、一元二次不等式恒成立的情况 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＜0.)) (2)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＜0，,Δ≤0.)) 二、一元二次方程根的分布与二次函数之间的关系 设方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的不等两根为x1，x2，且x1＜x2，相应的二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，方程的根即二次函数图象与x轴的交点的横坐标，它们的分布情况见下表： 方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)根的分布 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 等价条件 x1＜x2＜k eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Δ＝b2－4ac＞0，,－\f(b,2a)＜k，,fk＞0)) 方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)根的分布 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 等价条件 k＜x1＜x2 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Δ＝b2－4ac＞0，,－\f(b,2a)＞k，,fk＞0)) x1＜k＜x2 f(k)＜0 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是R.(×) (2)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.(×) (3)若a＞0，则一元二次不等式ax2＋1＞0无解．(×) (4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集一定不是空集．(√) 2．(教材P55习题2.3题4改编)若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是(　C　) A．100台 B．120台　 C．150台 D．180台 3．已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则a的取值范围是(　A　) A．[－4,4] B．(－4,4) C．(－∞，4]∪[4，＋∞) D．(－∞，－4)∪(4，＋∞) 4．∀x∈R，x2－a＞0恒成立，则a的取值范围为__________． 答案　(－∞，0) 探究一　不等式恒成立问题 [知能解读] 1．关于x的不等式f(x)≥0(≤0)对于x在某个范围内的每个值不等式都成立，即为不等式在这个范围内恒成立． 2．一元二次不等式恒成立的类型及解法 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (1)f(x)＞0在x∈R上恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＜0.)) (2)f(x)＜0在x∈R上恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＜0，,Δ＜0.)) (3)a＞0时，f(x)＜0在区间[α，β]上恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(fα＜0，,fβ＜0.)) (4)a＜0时，f(x)＞0在区间[α，β]上恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(fα＞0，,fβ＞0.)) (5)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即： k≥f(x)(k＞f(x))恒成立⇔k≥f(x)max(k＞f(x)max)； k≤f(x)(k＜f(x))恒成立⇔k≤f(x)min(k＜f(x)min)． 设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，求m的取值范围． 解　要使mx2－mx－1＜0恒成立，若m＝0，显然－1＜0；若m≠0，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＜0，,Δ＝m2＋4m＜0，))解得－4＜m＜0.综上可知，m的取值范围是(－4,0]． [变式1]　将本例中的条件“若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立”改为“对于1≤x≤3，f(x)＜－m＋5恒成立”，求m的取值范围． 解　方法一　要使f(x)＜－m＋5在1≤x≤3恒成立， 就要使me