第5讲 基本不等式 （情景导入）-新教材高中数学必修第一册【教师免备课】同步训练（2019人教A版）

( 第 5 讲 基本 不等式 ) 本课采用探究式学习方法，以学生为主题，探讨几何中的数量关系，从而得到不等式的大小比较.下面是本课的情景创设. 1.问题刻画 基本不等式的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。 2.合作探究 问题 1：你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ （教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关） 问题 2：:我们把“风车”造型抽象成图在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为、，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？ 生答：， 问题 3：那4个直角三角形的面积和呢？ 生答： 问题4：好，根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，。什么时候这两部分面积相等呢？ 生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即时，正方形EFGH变成一个点，这时有 结论：（板书）一般地，对于任意实数 、，我们有，当且仅当时，等号成立。 问题 5：你能给出它的证明吗？(学生尝试证明后口答,老师板书) 证明: 所以 注意强调 当且仅当时, 特别地,如果,也可写成 ,引导学生利用不等式的性质推导：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 3.揭示问题 在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？ 易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB，即ＣD＝. 这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立. 因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦” 4.评述 如果把看作是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. $