考点11 函数综合问题-2021年《三步冲刺中考·数学》（上海专用）之第1步小题夯基础

考点11 函数综合问题 1．（2020·上海中考真题）小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s(米)与时间t(分钟)的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行____米． 【答案】350． 【分析】当8≤t≤20时，设s=kt+b，将（8，960）、（20，1800）代入求得s=70t+400，求出t=15时s的值，从而得出答案． 【详解】解：当8≤t≤20时，设s=kt+b， 将(8，960)、(20，1800)代入，得： ，解得： ，∴s=70t+400； 当t=15时，s=1450，1800﹣1450=350， ∴当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米． 故答案为：350． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意，从实际问题中抽象出一次函数的模型，并熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式． 2．（2020·上海中考真题）在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣ x+5与x轴、y轴分别交于点A、B(如图)．抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A． （1）求线段AB的长； （2）如果抛物线y=ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC= ，求这条抛物线的表达式； （3）如果抛物线y=ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围． 【答案】（1）5 ；（2）y=﹣ x2+ x；（3）﹣ ＜a＜0． 【分析】（1）先求出A，B坐标，即可得出结论； （2）设点C（m，- m+5），则BC= |m，进而求出点C（2，4），最后将点A，C代入抛物线解析式中，即可得出结论； （3）将点A坐标代入抛物线解析式中得出b=-10a，代入抛物线解析式中得出顶点D坐标为（5，-25a），即可得出结论． 【详解】（1）针对于直线y=﹣ x+5， 令x=0，y=5，∴B(0，5)， 令y=0，则﹣ x+5=0，∴x=10，∴A(10，0)，∴AB= =5 ； （2）设点C(m，﹣ m+5)． ∵B(0，5)，∴BC= = |m|． ∵BC= ，∴ |m|= ，∴m=±2． ∵点C在线段AB上，∴m=2，∴C(2，4)， 将点A(10，0)，C(2，4)代入抛物线y=ax2+bx(a≠0)中，得 ， ∴ ，∴抛物线y=﹣ x2+ x； （3）∵点A(10，0)在抛物线y=ax2+bx中，得100a+10b=0， ∴b=﹣10a，∴抛物线的解析式为y=ax2﹣10ax=a(x﹣5)2﹣25a， ∴抛物线的顶点D坐标为(5，﹣25a)， 将x=5代入y=﹣ x+5中，得y=﹣ ×5+5= ， ∵顶点D位于△AOB内，∴0＜﹣25a＜ ，∴﹣ ＜a＜0． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，抛物线的顶点坐标的求法，求出点D的坐标是解本题的关键． 3．（2017·上海中考真题）已知在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（2，2），对称轴是直线x=1，顶点为B． （1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标； （2）点M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m，联结AM，用含m的代数式表示∠AMB的余切值； （3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C在x轴上．原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q，如果OP=OQ，求点Q的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+2．顶点B坐标为（1，3）． （2）cot∠AMB=m﹣2． （3）点Q的坐标为（，﹣）或（，﹣）． 试题分析：（1）依据抛物线的对称轴方程可求得b的值，然后将点A的坐标代入y=﹣x2+2x+c可求得c的值； （2）过点A作AC⊥BM，垂足为C，从而可得到AC=1，MC=m﹣2，最后利用锐角三角函数的定义求解即可； （3）由平移后抛物线的顶点在x轴上可求得平移的方向和距离，故此QP=3，然后由点QO=PO，QP∥y轴可得到点Q和P关于x对称，可求得点Q的纵坐标，将点Q的纵坐标代入平移后的解析式可求得对应的x的值，则可得到点Q的坐标． 试题解析：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，∴x=﹣=1，即 =1，解得b=2． ∴y=﹣x2+2x+c． 将A（2，2）代入得：﹣4+4+c=2，解得：c=2． ∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+2． 配方得：y=﹣（x﹣1）2+3．∴抛物线的顶点坐标为（1，3）． （2）如图所示：过点A作AC⊥BM，垂足为C，则AC=1，C（1，2）． ∵M（1，m），C（1，2），∴MC=m﹣2．∴cot∠AMB==m﹣2． （3）∵抛物线的顶点坐标为（1，3），平移后抛物线的顶点坐标在x轴上， ∴抛物线向下平移了3个单位．∴平移后抛物线的解析式为y=﹣x2+