专题10 导数专题之定积分的应用-2020-2021学年高二数学选修2-2导数专题（人教A版）

专题10定积分的应用 1．如图，阴影部分的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ， ， ， 本题选择D选项. 点睛：定积分的计算：(1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加． (2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分． (3)若y＝f(x)为奇函数，则 ＝0. 2．二项式 的展开式中，含 项的系数为 ，则 （ ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解析】 二项式 的展开式的通项为 ，令 ，根据题意， 含 项的系数 ， .选C 3．由直线 ， ，曲线 及 轴所围图形的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 直线 ， ，曲线 及 轴所围图形的面积可用定积分计算，先求出图形横坐标范围，再求定积分即可. 【详解】 如图， 由直线 ， ，曲线 及 轴所围图形的面积： . 故选：A 【点睛】 本题考查了利用定积分求封闭图形的面积，做题时应认真分析. 4．求曲线 与 所围成的图形的面积 ，正确的是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图所示 故选A. 5．如图，在直角坐标系 中，过坐标原点 作曲线 的切线，切点为 ，过点 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ，向矩形 中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 先设出切点 ，利用切线过原点求出切点P的坐标，再用积分求出阴影部分的面积，最后用几何概型求得结果. 【详解】 设切点 ， 所以切线方程 ，又因为过原点 所以 解得 所以点P 因为 与 轴在 围成的面积是 则阴影部分的面积为 而矩形 的面积为 故向矩形 中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为 故选A 【点睛】 本题主要考查了几何概型，但是解题的关键是在于对于切点和积分的运用是否熟练，属于中档题. 6． （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 函数 的图象是以 为圆心，以1为半径的上半圆，作出直线 ，则图中阴影部分的面积为题目所要求的定积分. 【详解】 由题意， ，如图： 的大小相当于是以 为圆心，以1为半径的圆的面积的 ， 故其值为 ， ， 所以， 所以本题选D. 【点睛】 本题考查求定积分，求解本题关键是根据定积分的运算性质将其值分为两部分来求，其中一部分要借用其几何意义求值，在求定积分时要注意灵活选用方法，求定积分的方法主要有两种，一种是几何法，借助相关的几何图形，一种是定义法，求出其原函数，本题两种方法都涉及到了，由定积分的形式分析，求解它的值得分为两部分来求， 和 . 7．函数 的图象如图所示，则阴影部分的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 对阴影部分的面积分成两部分，再进行积分运算. 【详解】 所求面积为 ． 【点睛】 本题考查定积分的几何意义，特别要注意，当 时， ，其积分值是负数，且该负数的绝对值或相反数才是 对应阴影部分的面积． 8． ________ 【答案】 【解析】 因 ，而 ， ，应填答案 ． 9．曲线 与直线 围成的封闭图形的面积为______． 【答案】 【分析】 联立方程组求出积分的上限和下限，结合积分的几何意义即可得到结果． 【详解】 解：由 ，可得 或 则根据积分的几何意义可知所求的几何面积 ， 故答案为： ． 【点睛】 本题考查利用定积分求面积，解题的关键是确定被积区间及被积函数，难度较易． 10．如图，阴影部分是由曲线 和 及 轴围成的封闭图形，则阴影部分的面积为______. 【答案】 【分析】 首先求出曲线的交点，然后求直线 与 围成的面积 ，利用扇形的面积公式，求得扇形AOB的面积 ，则阴影部分的面积为 ，计算即可求得结果. 【详解】 曲线 和圆 的在第一象限的交点为 ，  则直线OA的方程为： ， 如图， 则直线OA与抛物线 所围成的面积 ，  又扇形AOB圆心角为 ，则扇形AOB的面积 ，  所以阴影部分的面积 . 故答案为 . 【点睛】 本题考查了利用定积分求阴影部分的面积，关键是利用定积分正确表示对应的面积，属中档题. 11．曲线 和曲线 围成一个叶形图（如图所示阴影部分），其面积是________． 【答案】 【分析】 先求出两个曲线的交点坐标 ，得所求阴影部分应该是曲线 从0到1的一段投影到x轴的面积减去曲线 从0到1的一段投影到x轴的面积，最后根据定积分的几何意义，用积分计算公式可以算出阴影部分面积. 【详解】 设阴影部分面积为S，由题意得两个图象的交点为 ， EMBED Equation.DSM