专题1 导数专题之变化率与导数-2020-2021学年高二数学选修2-2导数专题（人教A版）

专题1 变化率与导数 1．日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随若水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知 水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）为 ．那么净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是（ ）元 ． A． B． C．10 D．40 【答案】D 【分析】 净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数，求出 水净化到纯净度为 时所需费用函数的导数，即可算出结果． 【详解】 净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数， 因为 ． 所以 ， 又因为 ， 所以净化到纯净度为 时所需净化费用的瞬时变化率是40元 ， 故选：D 2．我们知道，函数 在点 处的导数 ，由极限的意义可知，当 充分小时， ，即 ，从而 ，这是一个简单的近似计算公式，它表明可以根据给定点的函数值和到数值求函数的增量或函数值的近似值，我们可以用它计算 的近似值为（ ） （ ， ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 设 ， ，利用 ，代入数值即可求解. 【详解】 设 ，所以 ， ， 取 ， ，则 ， ∴ EMBED Equation.DSMT4 ， 故选：B 【点睛】 关键点点睛：本题的关键点是设 ， ，取 ， ，则 ，代入数值求解. 3．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量 （单位：贝克）与时间 （单位：天）满足函数关系 ，其中 为时该放射性同位素的含量.已知 时，该放射性同位素的瞬时变化率为 ，则该放射性同位素含量为 贝克时衰变所需时间为（ ） A．20天 B．30天 C．45天 D．60天 【答案】D 【分析】 根据题中条件，先求出 ，再令 ，代入解析式求解，即可得出结果. 【详解】 由 得 ， 因为 时，该放射性同位素的瞬时变化率为 ， 即 ，解得 ， 则 ， 当该放射性同位素含量为 贝克时，即 ， 所以 ，即 ，所以 ，解得 . 故选：D. 4．若 ，则 （ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】 由题意结合导数的运算可得 ，再由导数的概念即可得解. 【详解】 由题意 ，所以 ， 所以 . 故选：D. 5．函数 在 处的瞬时变化率为（ ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】 函数在某点处的瞬时变化率即为函数在改点的导数值，求导得解 【详解】 ， 所以函数 在 处的瞬时变化率为 故选：B 【点睛】 本题考查函数在某点处的导数值，属于基础题. 6．某物体作直线运动，位移y(单位：m)与时间t(单位：s)满足关系式 ，那么该物体在 s时的瞬时速度是（ ） A．2m/s B．4m/s C．7m/s D．12m/s 【答案】D 【分析】 对 求导，将 代入导函数，可求出答案. 【详解】 对 求导，得 ， 当 时， （m/s）， 所以物体在 s时的瞬时速度是12m/s. 故选：D. 【点睛】 本题考查瞬时速度，考查导数与瞬时变化率之间的关系，考查计算能力，属于基础题． 7．近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷限价”为主题的房地产调控政策.各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间 内完成房产供应量任务 .已知房产供应量 与时间 的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据变化率的知识，结合曲线在某点处导数的几何意义，可得结果. 【详解】 单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长 速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量 的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡， 故函数的图象应一直下凹的. 故选B. 【点睛】 本题考查变化率的知识，实质上是考查曲线在某点处导数的几何意义，属基础题. 8．两个学校 、 开展节能活动，活动开始后两学校的用电量 、 与时间 （天）的关系如图所示，则一定有（ ） A． 比 节能效果好 B． 的用电量在 上的平均变化率比 的用电量在 上的平均变化率大 C．两学校节能效果一样好 D． 与 自节能以来用电量总是一样大 【答案】A 【分析】 根据两函数切线斜率的变化以及切线斜率的几何意义、平均变化率的定义对各选项的正误进行判断，可得出正确选项. 【详解】 由图象可知，对任意的 ，曲线 在 处的切线比曲线 在 处的切线要“陡”，所以， 比 节能效果好，A正确，C错误； 由图象可知， ，则 的用电量在 上的平均变化率比 的用电量在 上的平均变化率要小，B选项错误； 由于曲线 和曲线 不重合，D选项错误. 故选：A. 【点睛】 本题考查切线斜率的实际应用，要理解瞬时变化率与切线斜率之间的关