练习07 椭圆-2020-2021学年【补习教材·寒假作业】高二数学（理）（北师大版）

椭圆 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知椭圆()的一个焦点是圆的圆心，且短轴长为，则椭圆的左顶点为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先分析出圆的圆心从而确定出椭圆的焦点坐标，再根据短轴长度求解出椭圆方程中的值，从而左顶点可求. 【详解】 因为圆即为，所以圆心为， 所以椭圆的一个焦点坐标为，故，又因为，则， 所以，所以，所以左顶点为. 故选：D. 2．已知点，直线与椭圆相交于两点，则的周长为（ ） A．2 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】 直线过定点，由椭圆定义可得，，进而可求出结果． 【详解】 由椭圆，可知，，， 直线过定点， 所以、是椭圆的焦点， 由椭圆定义知：，． 的周长为， 故选：． 3．已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点，若，则椭圆的离心率是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由轴可得点坐标，设，利用已知向量相等列出方程，可得椭圆的离心率． 【详解】 由题意知，设，又，∵，∴， ∴，∴. 故选：B 4．已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先根据椭圆的几何性质求得，设出，利用余弦定理和三角形的面积公式列方程求解． 【详解】 解：由已知， 设， 则，， 在中，， ， 即， 又， ． 因为， ． 故选：D． 5．已知的顶点是椭圆的一个焦点，顶点、在椭圆上，且经过椭圆的另一个焦点，则的周长为（ ） A． B．6 C．4 D．12 【答案】C 【分析】 画出示意图，根据椭圆定义可得，周长为，由方程得到即可. 【详解】 解：如图，由题可知，不妨设椭圆焦点分别为，， 根据椭圆定义可得，，， 因为周长为， 所以周长为， 故选：C. 6．已知椭圆的方程为，斜率为的直线与椭圆相交于，两点，且线段的中点为，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由点差法化简可得，再由椭圆离心率公式即可得解. 【详解】 设， 则，两式作差得， 又，线段的中点为， 所以， 所以即， 所以该椭圆的离心率为. 故选：C. 7．已知点P是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，I为的内心，若成立，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 先利用三角形内心的性质，将已知面积关系转化为焦点三角形的边长间的关系，再利用椭圆的定义和椭圆离心率定义，即可得该椭圆的离心率. 【详解】 设的内切圆的半径为，则由得 ， 即， ， 所以离心率. 故选：A. 8．已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线与椭圆相交于、两点.若，点到直线的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据，得到，根据点到直线距离，求出，从而求出得范围，从而求出答案. 【详解】 设椭圆的左焦点为，为短轴的上端点，连接，如下图所示： 由椭圆的对称性可知，关于原点对称，则 又 四边形为平行四边形 又，解得： 点到直线距离：， 解得：，即 . 故选：C. 二、填空题 9．设椭圆的两个焦点分别为、，，是上一点，若，且，则椭圆的方程为________. 【答案】 【分析】 利用已知条件结合椭圆的定义可求得，，然后利用勾股定理可求得的值，进而可求得的值，由此可求得椭圆的方程. 【详解】 由，解得， 在中，，所以，， 由勾股定理可得，即，解得， ，则，， 因此，椭圆的方程为. 故答案为：. 10．已知直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，那么这个椭圆的方程为__________________； 【答案】 【分析】 求出椭圆的顶点和焦点，进而可得，则椭圆方程可求． 【详解】 解：对于直线， 当时，， 当时，， 则椭圆中的， 则， 所以椭圆方程为． 故答案为：． 11．椭圆的左、右焦点分别为，，C上存在一点P使得，则椭圆离心率的范围是_______． 【答案】 【分析】 先根据椭圆定义得到，再利用余弦定理，求出，利用椭圆的范围列出不等式求出离心率的范围. 【详解】 设， 则， 在中，由余弦定理得： ， 解得， 因为， 所以， 即，且， 所以， 故椭圆的离心率的取值范围是. 故答案为：. 12．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【分析】 根据题意可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】 由题意可得，解得且. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题 13．求椭圆的长轴长、短轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率. 【答案】长轴长为6，短轴长为4，焦距为