多种方法解决一道解析几何题（斜率之和为定值）（含doc与pdf）

多种方法解决一道解析几何题（k1+k2=n类问题） 题目：[安徽省重点中学2020届高三第二次联考]已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，直线与C交于A、B两点，∠AF2B=，M为椭圆C上任意一点，且|MF1|·|MF2|的最大值为16. (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C的上顶点N作两条不同的直线，分别交椭圆C于另一点P和Q（异于N），若直线NP、NQ的斜率之和为6，证明直线PQ过定点，并求出定点的坐标. 题目答案：（1）；（2）直线PQ恒过点（-1，-3）. 第（1）问步骤省略，直接开始第（2）问的多法解决（考虑斜率不存在的情况已省略）。建议看下表中的美观图而不是实际图，以免看错。 实际图 美观图 方法一：直接法（初学者常用方法） 由题意知N(0,3)，设. 联立lPQ与C得 ∴解得， 将上述两解代入lPQ方程得：， ∴得P、Q两点坐标分别为： 有kNP+kNQ= ∴可得m=k-3，即 ∴整理可得 ∴lPQ过定点（-1，-3）. 我的笔记：________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 方法二：结论法（选择填空快捷方法）（非考试简答题方法） 结论：该情况下lPQ过定点. 提取信息：由题意知a=4（用不上），b=3，n=6，所以，.所以直线lPQ过定点（-1，-3）. 补充结论： P所在点 直线l所过定点 左顶点(-a,0) 右顶点(a,0) 上顶点(0,b) 下顶点(0,-b) 注：椭圆方程为，n=k1+k2. 我的笔记：________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 方法三：韦达定理法（减小方法一的计算量，常用方法） 由题意知N(0,3)，设，P(x1,y1)，Q(x2,y2). 有 联立lPQ与C得 ∴根据韦达定理知： . 将其代入①式得 ∴k=m+3，即m=k-3 . ∴lPQ:y=kx+k-3，整理得. ∴lPQ过定点（-1，-3）. 我的笔记：________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 方法四：构造f(k)形式韦达定理法（少见方法，新颖） 由题意知，N(0,3) ∴ 可将椭圆C的方程可构造成 展开得 设lPQ的方程为mx+n(y-3)=1 将lPQ代入（*）式得 整理得 两边同时除以x2得 ∵ ∴可得 ∴根据韦达定理可得 ∵ ∴可得m=-6n-1 . 代入lPQ方程得-(6n+1)x+n(y-3)=1，整理得n(y-6x-3)-(x+1)=0 令 ，解得， 所以lPQ过定点（1，-3）. 我的笔记：________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 课后练习 请分别使用上述四种方法对下面一题尝试求解: 已知椭圆，P为C的左顶点，直线l不过点P，与C交于A、B两点若kPA+kPB=2，求直线l所过定点的坐标。 我的解答过程： 答题区 答案：直线l过定点. 文尾：且视他人之疑目如盏盏鬼火，大胆地去走你的夜路。——史铁生 学科网（北京）股份有限公司 $多种方法解决一道解析几何题（k1+k2=n 类问题） 题 目 ： [ 安 徽 省 重 点 中 学 2020 届 高 三 第 二 次 联 考 ] 已 知 椭 圆 的左、右焦点分别为 F1、F2，直线 与 C 交于 A、B 两点，∠AF2B= ，M为椭圆 C上任意一点，且|MF1|·|MF2|的最大值为 16. (1)求椭圆 C的方程； (2)过椭圆 C的上