练习03 直线与圆的综合应用-2020-2021学年【补习教材·寒假作业】高二数学（理）（北师大版）

直线与圆的综合应用 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知为圆上一个动点，为坐标原点，过点作圆的切线与圆相交于两点，则最小值是（ ） A． B． C． D． 2．已知动点到，两点的距离相等，是圆上的动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 3．已知点，，若圆：上存在一点，使得，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 4．两直线，，则直线关于直线对称的直线方程为（ ） A． B． C． D． 5．若在直线上有一点P，它到点和的距离之和最小，则该最小值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 6．过点的直线分别与轴、轴的正半轴交于、两点，则（为坐标原点）面积取得最小值时直线方程为____________. 7．已知，是圆与圆的公共点，则线段的长度为______. 8．已知直线：过定点，点在直线上，则的最小值是______． 9．已知，在()和轴()上各找一点､，使得三角形周长最小，则最小时直线的方程为___________ 三、解答题 10．已知圆，直线. （1）判断直线与圆位置关系； （2）求直线被圆截得线段的最短长度及此时的方程. 11．已知直线过定点，且交轴负半轴于点､交轴正半轴于点.点为坐标原点． （1）若的面积为4，求直线的方程； （2）求的最小值，并求此时直线的方程； （3）求的最小值，并求此时直线的方程． 12．已知圆的圆心在第一象限内，圆关于直线对称，与x轴相切，被直线截得的弦长为． （1）求圆的方程； （2）若点在直线上运动，过点作圆的两条切线、，切点分别为、点，求四边形面积的最小值． 试卷第1页，总3页 试卷第1页，总3页 参考答案 1．C 【分析】 作出图象，根据图象将问题转化为到圆上的点的最大值，利用勾股定理即可求解. 【详解】 由图象可知，当时，且最大时，可取得最小值， ， 所以圆心，半径， 而，圆心，半径， 又， ， 在中，， ， . 故选：C 2．A 【分析】 易知轨迹为线段的垂直平分线，由此可求得轨迹方程；利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离，由可求得结果. 【详解】 到两点距离相等，点轨迹为线段的垂直平分线， 又，中点坐标为， 点的轨迹方程为：，即. 由圆的方程知：圆心为，半径， 圆心到直线的距离， . 故选：A. 【点睛】 结论点睛：直线与圆相离时，圆上的点到直线距离的最大值为，最小值为（为圆心到直线距离，为圆的半径）. 3．B 【分析】 根据题意，分析圆C的圆心坐标以及半径，设AB的中点为M，由AB的坐标分析M的坐标以及|AB|的值，可得以AB为直径的圆；进而分析，原问题可以转化为圆C与圆M有公共点，结合圆与圆的位置关系，分析可得答案． 【详解】 根据题意，圆即； 其圆心为，半径， 设AB的中点为M， 又由点则， 以AB为直径的圆为， 若圆上存在一点P，使得PA⊥PB，则圆C与圆M有公共点， 又由 即有且,即， 又， 故选：B. 【点睛】 本题考查直线与圆的位置关系，注意将圆问题转化为圆与圆的位置关系，属于基础题． 4．D 【分析】 设所求直线方程为，根据所求直线到直线的距离等于直线、间的距离可得出关于的等式，求出的值，即可得出所求直线的方程. 【详解】 设所求直线方程为， 由题意可知，所求直线到直线的距离等于直线、间的距离， 所以，，，解得. 因此，所求直线的方程为. 故选：D. 5．C 【分析】 求出关于直线对称的点为，则，从而得出答案. 【详解】 点关于直线对称的点为,如图 则,所以 当且仅当三点共线时取得等号. 故选：C 6． 【分析】 设直线的方程为，求出点、的坐标，结合已知条件求出的取值范围，然后求出的面积关于的表达式，利用基本不等式可求出面积的最小值，利用等号成立求出的值，即可得出所求直线的方程. 【详解】 易知直线的斜率存在且不为零， 设直线的方程为，即. 在直线的方程中，令，可得；令，可得. 所以，点、. 由已知条件可得，解得. 的面积为. 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，直线的方程为，即. 故答案为：. 【点睛】 关键点点睛：解本题的关键在于将三角形的面积利用斜率有关的代数式表示，并结合基本不等式求出三角形面积的最小值，同时不要忽略了斜率的取值范围的求解. 7． 【分析】 利用两个圆的方程求出公共弦所在直线方程，然后求出点到直线的距离，再根据勾股定理可求得弦长. 【详解】 由两圆方程相减，消去二次项可得两圆公共弦所在直线方程为：， 又圆的圆心，半径， 所以点到直线的距离， 所以. 故答案为： 【点睛】 关键点点睛：利用两个圆的方程求出公共弦所在直线方程是解题关键. 8． 【分析】 求出定点的坐标，将所求最小