第三章 函数与分析（4）函数的图像和性质-备战2021年中考数学考点帮（上海专用）

备战2021年中考数学考点一遍过（上海专用） 第三章 函数与分析（4） 函数的图像和性质 1．正比例函数性质： 当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量的值逐渐增大时，的值也随着逐渐增大． 当时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量的值逐渐增大时，的值也随着逐渐减小． 【注意】 正比例函数性质的逆命题也是可以正确的，我们在做题的时候也可以直接运用 2．反比例函数（是常数,）的图像叫做双曲线，它有两支． 【思考】双曲线的每支都是向两个方向无限伸展的，那么双曲线是否会与坐标轴相交？ 3．反比例函数（是常数,）有如下性质： （1）当时，图像图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量的值逐渐增大时，的值也随着逐渐减小． （2）当时，图像图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量的值逐渐增大时，的值也随着逐渐增大． 【注意】 反比例函数性质的逆命题也是可以正确的，我们在做题的时候也可以直接运用 4．一次函数（、是常数,且）的图像是一条直线.一次函数的图像也称为直线，这时，我们把一次函数的解析式称为这一直线的表达式． 【注意】 1. 画一次函数的图像时，只需描出图像上的两个点，然后过这两点作一条直线. 2. 正比例函数是特殊的一次函数． 5．一条直线轴的交点的纵坐标叫做这条直线在轴上的截距，简称直线的截距． 一般地，直线（）与轴的交点坐标是（0，）.直线（）的截距是． 【注意】 画直线时，通常先描出直线与轴、轴的交点. 6．一般地，一次函数（）的图像可由正比例函数的图像平移得到．当时，向上平移个单位；当时，向下平移个单位． 【注意】 做题时，尤其注意向下平移个单位. 7．由一次函数的函数值大于0（或者小于0），就得到关于的一元不等式（或）.在一次函数的图像上且位于轴上方（或下方）的所有点，他们的横坐标的取值范围就是不等式（或）的解集． 8．一般来说，一次函数（、是常数,且）具有以下性质： 当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量的值逐渐增大时，的值也随着逐渐增大． 当时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量的值逐渐增大时，的值也随着逐渐减小． 9．抛物线（其中是常数，且）的对称轴是轴，即直线；顶点是原点．抛物线的开口方向由所取之的符号决定，当时，它的开口向上，顶点式抛物线的最低点；当时，它的开口向下，顶点式抛物线的最高点． 【注意】 抛物线的对称轴是一条直线，答题时一定要写直线. 10．抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是轴，即直线；顶点坐标是（0，）.抛物线的开口方向由所取之的符号决定，当时，它的开口向上，顶点式抛物线的最低点；当时，它的开口向下，顶点式抛物线的最高点． 11．抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是过点（，0）且平行（或重合）于轴的直线，即直线；顶点坐标是（，0）．当时，它的开口向上，顶点式抛物线的最低点；当时，它的开口向下，顶点式抛物线的最高点． 12．抛物线（其中、、是常数，且）的对称轴是过点（，0）且平行（或重合）于轴的直线，即直线；顶点坐标是（，）．当时，它的开口向上，顶点式抛物线的最低点；当时，它的开口向下，顶点式抛物线的最高点． 【注意】 在二次函数中，我们常常会做到平移的题目，一般我们在做平移时都会把二次函数化为顶点式来进行平移的求解。. 【记忆技巧】 一般地，我们通常做二次函数平移时都会记住“左加右减，上加下减”.其中左右和上下分别代表着平移的方向，若二次函数向左右平移，则在后进行加减，若二次函数向上下平移，则在后进行加减 13．抛物线（其中、、是常数，且）的对称轴是直线，顶点坐标是（，），与轴交点为（0，）.当时，它的开口向上，顶点式抛物线的最低点；当时，它的开口向下，顶点式抛物线的最高点． 14．一般地，对于抛物线，沿着轴正方向看，可见它的变化情况如下： 当时，抛物线在对称轴（即直线）左侧部分是下降的，在对称轴的右侧部分是上升的； 当时，抛物线在对称轴（即直线）左侧部分是上升的，在对称轴的右侧部分是下降的． 【注意】 图像的上升或下降，是对图像变化情况的直观描述.规定以轴正方向为参照，一般不说明. 例题精讲 【题型一·函数图像所过象限】 【例1】在平面直角坐标系中，反比例函数（）图像的两支分别在第 象限． 【参考答案】二、四． 【例2】己知反比例函数的图像如图所示，那么的取值范围是 ． 【参考答案】． 【例题解析】 在反比例函数中∶当时，函数图像的两支分别在第一、三象限； 当时，函数图像的两支分别在第二、四象限． 【例3】函数的图像经过的象限是（ ） ．第一、二、三象限； ．第一、二、四象限； ．第一、三、四象限； ．第二、三