专题18 高考中的数学文化-2021年高考冲刺之二轮专题精讲精析

专题18高考中的数学文化 一、单选题 1． 年，欧拉在给哥德巴赫的一封信中列举了多面体的一些性质，其中一条是：如果用、 和 表示闭的凸多面体的顶点数、棱数和面数，则有如下关系： .已知正十二面体有 个顶点，则正十二面体有（ ）条棱 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由已知条件得出 ， ，代入欧拉公式 可求得 的值，即为所求. 【详解】 由已知条件得出 ， ，由欧拉公式 可得 . 故选：A. 2．龙马负图、神龟载书图像如图甲所示，数千年来被认为是中华传统文化的源头；其中洛书有云，神龟出于洛水，甲壳上的图像如图乙所示，其结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足u，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数；若从阳数和阴数中分别随机抽出2个和1个，则被抽到的3个数的数字之和超过16的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由题可求出所有情况共40种，再求出满足条件的情况即可求出概率. 【详解】 依题意，阳数为1、3、5、7、9，阴数为2、4、6、8，故所有的情况有 种， 其中满足条件的为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共13种， 故所求概率 . 故选：A． 3．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2020共2020个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 则该数列共有（ ） A．132项 B．133项 C．134项 D．135项 【答案】D 【分析】 由题意抽象出数列是等差数列，再根据通项公式计算项数. 【详解】 被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为 ，则 ，令 ，解得： ， 所以该数列的项数共有135项. 故选：D 【点睛】 关键点点睛：本题以数学文化为背景，考查等差数列，本题的关键是读懂题意，并能抽象出等差数列. 4．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖．依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑．如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为 ，则侧棱与底面外接圆半径的比为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据正六棱锥的底面为正六边形计算可得结果. 【详解】 正六棱锥的底面为正六边形，设其外接圆半径为 ，则底面正边形的边长为 ， 因为正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为 ， 所以侧棱长为 ， 所以侧棱与底面外接圆半径的比为 . 故选：A 【点睛】 关键点点睛：掌握正六棱锥的结构特征是解题关键. 5．《张丘建算经》卷上第 题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第 天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织 尺布，现一月（按 天计）共织 尺”，则从第 天起每天比前一天多织（ ） A． 尺布 B． 尺布 C． 尺布 D． 尺布 【答案】D 【分析】 设该女子第 尺布，前 天工织布 尺，则数列 为等差数列，设其公差为 ，根据 ， 可求得 的值. 【详解】 设该女子第 尺布，前 天工织布 尺，则数列 为等差数列，设其公差为 ， 由题意可得 ，解得 . 故选：D. 6．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（ ） A．3斤 B．6斤 C．9斤 D．12斤 【答案】C 【分析】 根据题意转化成等差数列问题，再根据等差数列下标的性质求 . 【详解】 由题意可知金锤每尺的重量成等差数列，设细的一端的重量为 ，粗的一端的重量为 ，可知 ， ， 根据等差数列的性质可知 ， 中间三尺为 . 故选：C 【点睛】 本题考查数列新文化，等差数列的性质，重点考查理解题意，属于基础题型. 7．古希腊时期，人们把宽与长之比为 的矩形称为黄金矩形，把这个比值 称为黄金分割比例．下图为希腊的一古建筑.其中部分廊、檐、顶的连接点为图中所示相关对应点，图中的矩形 ， ， ， ， ， 均近似为黄金矩形.若 与 间的距离大于18.7m， 与 间的距离小于12m．则该古建筑中 与 间的距离可能是（ ）（参考数据： ， ， ） A．29m B．29.8m C．30.8m D．32.8m 【答案】C 【分析】 由矩形 和 是黄金矩形，由边长的比求出 范围即可得． 【详解】 由黄金矩形的定义可知 ， ，所以