专题17 数学中的新定义问题-2021年高考冲刺之二轮专题精讲精析

专题17数学中的新定义问题 一、单选题 1．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用表示不超过x的最大整数，则 称为高斯函数，也称取整函数，例如： ， ，已知 ，则函数 的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用定义可知函数 为奇函数，根据解析式可得 ，分三种情况讨论 可求得结果. 【详解】 因为 ，所以 ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 ，即 ， 因为 ， 当 时， ，所以 ， ，此时 ， 当 时， ，所以 ， ，此时 ， 当 时， ，此时 ， ，此时 ， 所以函数 的值域为 . 故选：A 【点睛】 关键点点睛：利用函数为奇函数解题是本题解题关键. 2．将正整数12分解成两个正整数的乘积有 ， ， 三种，其中 是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称 为12的最佳分解.当 ( 且p､ )是正整数n的最佳分解时，我们定义函数 ，例如 ，则数列 的前2020项和为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 按照 为偶数、 为奇数分类，再结合等比数列的前n项和公式即可得解. 【详解】 当 为偶数时， ；当 为奇数时， ； 所以数列 的前2020项和 . 故选：A. 【点睛】 本题考查了数学文化及等比数列前n项和公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 3．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点 间的距离为 ，动点 满足 ，当 不共线时， 面积的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 建立直角坐标系，求出点P的轨迹方程，即可得解. 【详解】 以经过 的直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴，建立直角坐标系，如图， 则 ， ，设 ， ， ， 整理得 ， 点P到AB（x轴）的距离最大值为 ， 所以 面积的最大值为 . 故选：C. 【点睛】 本题考查了动点轨迹方程的求解，考查了运算求解能力，属于基础题. 4．设 ， 与 是 的子集，若 ，则称 为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”（规定 与 是两个不同的“理想配集”的个数是（ ） A．16 B．9 C．8 D．4 【答案】B 【分析】 根据题意，子集 和 不可以互换，从子集 分类讨论，结合计数原理，即可求解. 【详解】 由题意，对子集 分类讨论： 当集合 ，集合 可以是 ，共4中结果； 当集合 ，集合 可以是 ，共2种结果； 当集合 ，集合 可以是 ，共2种结果； 当集合 ，集合 可以是 ，共1种结果， 根据计数原理，可得共有 种结果. 故选：B. 【点睛】 本题主要考查了集合新定义及其应用，其中解答正确理解题意，结合集合子集的概念和计数原理进行解答值解答额关键，着重考查分析问题和解答问题的能力. 5．已知函数 ，其中 表示不超过实数 的最大整数，关于 有下述四个结论： ① 的一个周期是 ； ② 是非奇非偶函数； ③ 在 单调递减； ④ 的最大值大于 ． 其中所有正确结论的编号是（ ） A．①②④ B．②④ C．①③ D．①② 【答案】A 【分析】 根据函数周期的定义判断①正确，利用特值判断函数是非奇非偶函数，得到②正确，根据取整函数的定义，可以判断在 上函数值是确定的一个值，得到③错误，利用 得到④正确，从而得到结果. 【详解】 因为 ， 所以 的一个周期是 ，①正确； 又 ，④正确； 又 ， ， 所以 ， ，所以 是非奇非偶函数，所以②正确； 当 时， ， ，所以 ，所以 ，所以③错误； 综上所以正确的结论的序号是①②④， 故选：A． 【点睛】 该题考查三角函数相关性质的辨析，涉及到的知识点有取整函数，奇偶性、单调性、周期性的综合应用，属于较难题目. 6．设函数 的定义域为 ，如果存在非零常数 ，对于任意 ，都有 ，则称函数 是“似周期函数”，非零常数 为函数 的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题： ①如果“似周期函数” 的“似周期”为 ，那么它是周期为2的周期函数； ②函数 是“似周期函数”； ③如果函数 是“似周期函数”，那么“ 或 ”． 以上正确结论的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】 根据题意，首先理解“似周期函数”的定义，逐一分析，从而可判断命题的真假. 【详解】 解：①∵“似周期函数” 的“似周期”为 ， ， ， 故 它是周期为2的周期函数，故①正确； ②若函数 是“似周期函数”，则存在非零常数 ，使 ， 即 恒成立，故 成立，但无解，故②错误； ③若函数 是“似周期函数”， 则存