专题16 极坐标与参数方程-2021年高考冲刺之二轮专题精讲精析

专题16极坐标与参数方程 1．在平面直角坐标系 中，直线.以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （1）求曲线 的直角坐标方程； （2）若 与 相交于 ， 两点，且 ，求 . 【答案】（1） ；（2） 【分析】 （1）先将 两边同时平方，再利用 ， ，即可得到曲线 的直角坐标方程； （2）写出直线 的参数方程，与曲线 的直角坐标方程联立，设出 ， 所对应的参数分别为 ， ，再利用 ，列出方程，即可求出 . 【详解】 解：（1）由 ， 得: . 又 ， ， 的直角坐标方程为 ； （2）直线 的参数方程为 （其中 为参数， ）， 将它代入 ， 得： ， 设 ， 对应的参数分别为 ， ， 则 ， ， ， 又 ， ， ， 即 . 【点睛】 关键点点睛：直角坐标方程与极坐标方程互化的关键是利用公式 ，求直线与圆锥曲线的弦长时，利用直线参数方程的几何意义更简单. 2．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ． （1）求 的普通方程和 的直角坐标方程； （2）求 上的点到 距离的最大值． 【答案】（1） ； ；（2）3. 【分析】 （1）根据参数方程，消去参数，即可得到 的普通方程；根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，可得 的直角坐标方程； （2）由（1）先设 的参数方程，根据点到直线距离公式表示出点到直线的距离，进而可求出最值. 【详解】 （1）由 （ 为参数），因为 ，且 ， 所以 的普通方程为 ． 由 ，得 ． 即直线 的直角坐标方程为得 ； （2）由（1）可设 的参数方程为 （ 为参数， ）， 则 上的点 到 的距离为 ． 当 时， 取得最大值6，故 上的点到 距离的最大值为3． 【点睛】 思路点睛： 求圆、椭圆、双曲线上的点到直线的距离的最值时，往往通过参数方程引入三角函数，再借助三角函数的性质进行求解.需要掌握参数方程与普通方程的互化的规律，以及三角函数的性质等. 3．在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （1）求直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程； （2）已知点 的直角坐标为 ，过点 作直线 的垂线交曲线 于 、 两点（ 在 轴上方），求 的值． 【答案】（1） ； ；（2） . 【分析】 （1）利用直线参数方程消去参数即得直线的普通方程，曲线极坐标方程两边同时乘以 ，利用 ， 即得曲线的直角坐标方程； （2）根据点 坐标写直线 的参数方程，代入曲线 的直角坐标方程得关于t的一元二次方程，利用韦达定理求 的值即可. 【详解】 解：（1）由 ，消去参数 得 ， 即直线 的普通方程为 ； 由 得 ， ∵ ， ，∴ ， 即曲线 的直角坐标方程 ； （2）依题意，设直线 的参数方程为 （ 为参数）， 代入 得 ，设点 对应的参数为 ，点 对应的参数为 ，则 ， ，且 在 轴上方，有 ， ． 故 ， 即 的值为 . 【点睛】 思路点睛： 参数方程法研究直线与曲线交于两点求弦长、距离、面积等问题时，将直线的参数方程代入曲线的一般方程得到关于t的一元二次方程，再利用韦达定理计算求解即可. 4．在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （1）求 的普通方程和 的直角坐标方程； （2）若 与 相交于 ， 两点，设 ，求 ． 【答案】（1） ； ；（2） . 【分析】 （1）消去参数 即可得到 的普通方程，将 ， 代入即可得 的直角坐标方程； （2）由直线参数方程的几何意义即可求得 . 【详解】 （1）由 ： ， 得： ， 由 ： 得 ， 将 ， 代入可得： ； （2）经检验 在曲线 上， 则曲线 的参数方程可写为： （ 为参数）， 代入曲线 ，得： ， 设 ， 两点对应的参数分别为 ， ， 则由韦达定理得： ， 故 ． 【点睛】 关键点点睛：本题解题的关键是理解直线参数方程中 的几何意义. 5．在极坐标系中，已知点 ，B（1，π），C（1，0）. （1）求A，B，C三点的直角坐标； （2）已知M是△ABC外接圆上的任意一点，求|MA|2＋|MB|2＋|MC|2的值. 【答案】（1） ， ， ；（2）8. 【分析】 （1）根据极坐标与直角坐标的互化公式 ， 计算可得结果； （2）利用三角形△ABC的外接圆的参数方程设 的坐标，然后用两点间的距离公式计算可得结果. 【详解】 （1）由 知 ， ，所以 ， ，所以 ， 由 知 ， ，所以 ， ，所以 ， 由 知 ， ， ， ，所以 . 所以A，B，C三点的直角坐标分别为 ， ， . （2）因为