专题15 导数的应用-2021年高考冲刺之二轮专题精讲精析

专题15导数应用 一、单选题 1．定义在 上的函数满足 ， ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 构造函数 ，用导数法易得 在 上是增函数，然后将不等式 转化为 ，利用单调性求解. 【详解】 设 ， 则 ， ∴ 在 上是增函数， 不等式 可化为 . 即 ， ∴ ， 解得 . 故选：B 2．已知 、 满足 ，则 与 的大小关系为（ ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】 构造函数 ，利用导数分析出函数 在区间 上单调性，可比较出 与 的大小关系，再利用对数函数的单调性可得出 与 的大小关系，进而可得出 与 的大小关系. 【详解】 令 ，其中 ，则 ，当 时， . 所以，函数 在区间 上单调递增， ， ，即 ，即 ，即 ，可得 ， 所以， . 故选：C. 【点睛】 思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个： （1）判断各个数值所在的区间； （2）利用函数的单调性直接解答. 数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用. 3．已知函数 ，（ 为常数，且 ），若 在 处取得极值，且 ，而 在 上恒成立，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由函数的导数得出函数的单调性，又由已知可得 或 ，进而求得答案． 【详解】 ，令 ，可得 ， 因为 在 处取得极值，所以 ∴函数在 上单调递增，在 上单调递减. ∵ ， ∴函数在区间 上是单调函数. ∴ 或 ∴ ， ∴ 的取值范围是 . 故选：B 4．已知定义域为 的函数 的导函数为 ，且 ，若 ，则函数 的零点个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】 采用构造函数法，同乘 得 ，变形得 ，即 ，由此可得 表达式，将 求出具体解析式，再结合导数研究 增减性，画出大致图象，即可求解. 【详解】 依题意， ，故 ，则 ，即 ，故 ，令 ， 则 ，解得 ，故 ， 故 ；令 ，则 ，当 时， ，当 ， ，故 ，故当 时， ，当 时， ；作出函数 的大致图象如图所示；观察可知， 与 有2个交点，即函数 有2个零点， 故选：B． 【点睛】 方法点睛：本题考查构造函数法求解函数解析式，利用导数研究函数增减性，常用以下方法： （1）利用含导数方程还原原表达式需要结合导数四则运算特征，如本题中同乘 移项后就得到除法对应导数公式； （2）利用导数研究函数增减性,如遇导数不能判断正负的情况下，往往需要再次求导，通过二阶导数判断一阶导数的正负，再通过一阶导数的正负判断原函数的增减. 5．定义在R上的函数 ，当 时，不等式 EMBED Equation.DSMT4 在 时恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 先利用导数判断 单调递增，从而可得 单调递增，因此 恒成立等价于 ，即 ，得 ，进而可求得 的取值范围 【详解】 由于 ，因此 单调递增，从而 单调递减， 因此 单调递增， 注意到 恒成立等价于 ， 即 ，即 恒成立， 所以实数 的取值范围是 ， 故选：B. 【点睛】 关键点点睛：此题考查由函数的单调性解不等式，考查数学的转化思想，解题的关键是判断出函数的单调性，从而得 恒成立等价于 ，可得 ，从而可得实数 的取值范围，属于中档题 6．已知奇函数 在 上单调递减，且 ，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件. 【答案】B 【分析】 根据奇函数的定义和单调性可确定 和 的符号，由奇偶性定义可知 为偶函数，利用导数可确定 单调性；根据 ，利用单调性可求得 的解集，根据推出关系可确定结论. 【详解】 为 上的奇函数， EMBED Equation.DSMT4 ， 又 单调递减， 当 时， ；当 时， ，且 ， 令 ，则 ， 为偶函数， 当 时， ；当 时， ； ， 当 时， ， ， 在 上单调递增， 由偶函数对称性知： 在 上单调递减； ， 由 得： ， ， “ ”是“ ”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】 结论点睛：本题考查充分条件与必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若 是 的必要不充分条件，则 对应集合是 对应集合的真子集； （2）若 是 的充分不必要条件， 则 对应集合是 对应集合的真子集； （3）若 是 的充分必要条件，则 对应集合与 对应集合相等； （4）若 是 的既不充分又不必要条件， 则 对应的集合与 对应集合互不包含． 7．函数 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据周期性只需考虑 函数最值，结合 得 时函数取得最大值，利用导函数分析单调性，结合隐零点求解最值. 【详解】 由