专题14 导数的定义与运算-2021年高考冲刺之二轮专题精讲精析

专题14导数的定义与运算 一、单选题 1．已知函数 ，，若曲线 在点 处的切线是曲线 的所有切线中斜率最小的，则 （ ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】 的所有切线的斜率即为 （ ）的值域，由题意知当 时 取得最小值，由基本不等式可知 ，当且仅当 即 时 取得最小值，可得 【详解】 因为 ，定义域为 ， 所以 ， 由导数的几何意义可知：当 时 取得最小值， 因为 ， ，所以 ， 当且仅当 即 时 取得最小值， 又因为 时 取得最小值，所以 ， 故选：D 【点睛】 关键点点睛：本题的关键点是由导数的几何意义可得当 时 取得最小值，再利用基本不等式求 取得最小值时满足 即 ，即可求出 的值. 2．已知函数 ，过点 可作曲线 的三条切线，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先设切点坐标，用导数求出切线斜率，再用斜率公式求出切线斜率，两者相等，得到含m的方程，因为过点 可作曲线 的三条切线，所以前面所求方程有3解，再借助导数判断何时方程有3解即可． 【详解】 解；设切点坐标 ， ∵ ，∴ ∴曲线 在 处的切线斜率为 又∵切线过点 ， ∴切线斜率为 ， ∴ 即   ① ∵过点 可作曲线 的三条切线， ∴方程①有3解． 令 ， 则 图象与x轴有3个交点， ∴ 的极大值与极小值异号 ，令 ，得 或1， ∴ ，即（m＋3）（m＋2）＜0 解得−3＜m＜−2 故选：D． 【点睛】 方法点睛：１.准确求切线的方程是本题求解的关键；第(2)题将切线的条数转化为函数 的零点个数，进而运用导数研究，体现了函数思想与转化思想的应用． ２.当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解. 3．已知函数 和直线 ，那么“ ”是“直线 与曲线 相切”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 根据直线 与曲线 相切，求出 ，利用充分条件与必要条件的定义即可判断出结论． 【详解】 设函数 和直线 的切点坐标为 ， 则 ，可得 ， 所以 时，直线 与曲线 相切； 直线 与曲线 相切不能推出 ． 因此“ ”是“直线 与曲线 相切”的充分不必要条件． 故选： ． 【点睛】 判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件 和结论 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试 .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 4．已知函数 是定义域为R的偶函数，且当 时， ，则曲线 在点 处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 方法一：根据切点处导数的几何意义即可求得 处的切线方程的斜率，进而写出切线方程，结合偶函数的对称性即可得 处的切线方程；方法二：由偶函数结合已知区间的解析式求 时 解析式，应用切点处导数的几何意义求得 处的切线方程的斜率，写出切线方程即可. 【详解】 法一： 当 时， ，则 ， ， 所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ， 根据对称性．可得曲线 在点 处的切线方程为 ． 法二： 当 时， ，所以 ，又 是偶函数， 所以 ，所以 ， 所以 ，又 ， 所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ． 故选：B． 【点睛】 思路点睛：分别从偶函数条件或已知区间内对称点的切线方程入手，求 的切线方程. 1、方法一：首先求已知区间内对称点的切线方程，根据偶函数对称性求目标点处的切线方程. 2、方法二：首先求目标点所在区间的函数解析式，再求目标点处的切线方程. 5．函数 的图象在点 处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据函数的导数几何意义求切线的斜率，结合点坐标即可写出切线方程. 【详解】 依题意得 ，所以 ，又 ， 所以函数 的图象在点 处的切线方程为 . 故选：D. 【点睛】 思路点睛：求曲线或函数在某一点的切线方程的一般步骤如下. （1）函数 在 处的导数 （2）曲线 在点 处的切线的斜率为 ； （3）曲线 在点 处的切线方程为 ，若曲线 在点 处的切线平行于 轴（即导数不存在），切线方程为 . 6．设曲线 在 处的切线与直线 平行，则实数 等于（ ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】 利用直线平行斜率相等求出切线的斜率，再利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率求出切线斜率，列出方程即得． 【详解】 切线与直线 平行，斜率为 ， 又 ， 所以切线斜率 ，所以 的斜率为 ， 即 ． 故选：C． 【点睛】 思路点睛：该题主要考查导数的计算，