专题11 圆锥曲线-2021年高考冲刺之二轮专题精讲精析

专题11圆锥曲线 一、单选题 1．已知 ，为 的两个顶点，点 在抛物线 上，且到焦点的距离为13，则 的面积为（ ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】A 【分析】 设 ,求出抛物线的准线, 根据抛物线的性质,抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可求出 ,最后根据 即可得出结果. 【详解】 解:因为点 在抛物线 上,设 ， 抛物线 的准线方程为 ， 根据抛物线的性质,抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离. 由 ，得 ， 所以 . 故选:A 【点睛】 与抛物线有关的问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径． 2．已知椭圆 的焦距为4，直线 与椭圆 相交于点 、 ，点 是椭圆 上异于点 、 的动点，直线 、 的斜率分别为 、 ，且 ，则椭圆 的标准方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 设 ， ，得 ，由 ，以及点差法，求出 ，再由焦距，以及椭圆的性质，求出 和 ，即可得出椭圆方程. 【详解】 因为椭圆 的焦距为 ，则 ①； 设 ，因为直线 与椭圆 相交于点 、 ， 所以设 ，则 ， 又点 是椭圆 上异于点 、 的动点，直线 、 的斜率分别为 、 ，且 ， 所以 ， 又 ，两式作差可得 ，则 ， 所以 ②，由①②解得 ， ， 所以椭圆 的标准方程是 . 故选：C. 【点睛】 关键点点睛： 求解本题的关键在于，先由椭圆的对称性，设出 、 两点坐标，再根据直线 、 斜率的乘积，由点差法求出 和 的关系式，即可根据椭圆性质求解. 3．已知双曲线 的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆 有公共焦点.则双曲线 的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 求出椭圆焦点坐标，得双曲线的焦点坐标，再由焦点到渐近线的距离可求得 ，得渐近线方程． 【详解】 由题意已知椭圆的焦点坐标为 ，即为双曲线的焦点坐标，双曲线中 ， 渐近线方程为 ，其中一条为 ， 于是有 ， ，∴ ， ∴渐近线方程为 ． 故选：C． 【点睛】 关键点点睛：本题考查椭圆与双曲线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，关键是求出 ．解题时要注意椭圆中 ，双曲线中 ．两者不能混淆． 4．点 、 分别为椭圆 的左、右顶点，直线 与椭圆相交于 、 两点，记直线 、 的斜率分别为 、 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 设点 、 ，将直线 的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，计算出 的值，利用基本不等式可求得 的最小值. 【详解】 设点 、 ， 联立 ，消去 并整理得 ， 由韦达定理可得 ， ， 设直线 的斜率为 ，则 ， ， 所以， ， ， 而 EMBED Equation.DSMT4 ， 因此， ， 当且仅当 时，等号成立， 因此， 的最小值为 . 故选：B. 【点睛】 关键点点睛：解本题的关键在于求得 ，进而利用韦达定理法求得 为定值，再结合基本不等式求得最值. 5．已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点 ， ，点 是两曲线在第一象限的交点，且 在 上的投影等于 ， ， 分别是椭圆 和双曲线 的离心率，则 的最小值是（ ） A． B．6 C．8 D． 【答案】C 【分析】 由 在 上的投影等于 可知PF1⊥PF2， 利用椭圆与双曲线的 焦距相同找到 和 的关系，最后构建函数利用导数求出 的最小值. 【详解】 如图，设半焦距为 ．∵点 是两曲线在第一象限的交点，且 在 上 的投影等于 ，∴PF1⊥PF2．设 ， ，则 ， ．∴ ＝ ﹣ ．在 中， 由勾股定理可得： . ∴ ．两边同除以c2，得2＝ ， 所以 ， 当 即 时取等号，因此9e12+e22的最小值是8． 故选：C. 【点睛】 求最值题目一般分为三步： ①写表达式； ②消元； ③求值域. 6．已知双曲线 ( ， )的左右焦点分别为 ， ， 为双曲线右支上的任意一点，若 的最小值为 ，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由双曲线的定义和基本不等式可得当 ， 时， 取得最小值，再由 即可求出离心率范围. 【详解】 EMBED Equation.DSMT4 为双曲线右支上的任意一点，则 ，即 ， 则 ， 当且仅当 ，即 时等号成立，此时 ， ，即 ，即 ， . 故答案为：C. 【点睛】 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 7．已知曲线