专题9 数列通项公式和前n项和-2021年高考冲刺之二轮专题精讲精析

专题9通项公式和数列求和 一、单选题 1．正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足 ，则a5＝（ ） A．8 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】 根据 ， 时，得到 ，当 时，根据 得到 或者 ，再求 即可. 【详解】 正项数列 ， ， 当 时， ， ，所以 . 当 时， ， ， 所以 或者 . 当 时， 是首项为1，公差为1的等差数列， 所以 ， ； 当 时， 与 是正项数列矛盾，所以舍去. 故选：B. 2．已知数列 的前 项和 ，则 的通项公式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用 求出 时 的表达式，然后验证 的值是否适合，最后写出 的式子即可. 【详解】 ， 当 时， ， 当 时， ，上式也成立， ， 故选：B. 【点睛】 易错点睛：本题考查数列通项公式的求解，涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即 ，算出之后一定要判断 时对应的式子是否成立，最后求得结果，考查学生的分类思想与运算求解能力，属于基础题. 3．在数列 中， ，且 ，则其通项公式为 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先由 得出 ，再由累加法计算出 ，进而求出 . 【详解】 解： ， ， 化简得： ， 两边同时除以 并整理得： ， 即 ， ， ，…， ， 将上述 个式子相加得： … … ， 即 ， ， 又 也满足上式， ， . 故选：D. 【点睛】 易错点点睛：利用累加法求数列通项时，如果出现 ，要注意检验首项是否符合. 4．数列 ， ， ， ，…的一个通项公式是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据选项进行逐一验证，可得答案. 【详解】 选项A. ,当 时，无意义.所以A不正确. 选项B. ,当 时， ，故B不正确. 选项C. ， ， ， 所以 满足.故C正确. 选项D. ,当 时, ,故D不正确. 故选：C 5．已知数列1， , , ,…，则数列的第k项是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据已知中数列的前4项，分析数列的项数及起始项的变化规律，进而可得答案 【详解】 解：由已知数列的前4项：1， , , , 归纳可知该数列的第 项是一个以1为首项，以 为公比的等比数列第 项开始的连续 项和， 所以数列的第 项为： 故选：D 6．已知数列 满足 则数列 的最大项为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题先根据递推公式进行转化得到 ．然后令 ，可得出数列 是等比数列．即 ．然后用累乘法可求出数列 的通项公式，根据通项公式及二次函数的知识可得数列 的最大项． 【详解】 解：由题意，可知： ． 令 ，则 ． ， 数列 是以 为首项， 为公比的等比数列． ． EMBED Equation.DSMT4 ． EMBED Equation.DSMT4 ， ， ． 各项相乘，可得： ． ． 令 ， 则，根据二次函数的知识，可知：当 或 时， 取得最小值． ， ， 的最小值为 ． EMBED Equation.DSMT4 ． 数列 的最大项为 ． 故选： ． 【点睛】 本题主要考查根据递推公式得出通项公式，构造新数列的方法，累乘法通项公式的应用，以及利用二次函数思想求最值； 7．已知等差数列 的前 项和 满足： ，若 ，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 首先根据数列的通项 与 的关系，得到 ， ， ，再根据选项，代入前 项和公式，计算结果. 【详解】 由 得， ， ， . 又 ， ， . 故选:C. 【点睛】 关键点睛：本题的第一个关键是根据公式 ，判断数列的项的正负，第二个关键能利用等差数列的性质和公式，将判断和的正负转化为项的正负. 8．已知数列 的前n项和 ，则 （ ） A．350 B．351 C．674 D．675 【答案】A 【分析】 先利用公式 求出数列 的通项公式，再利用通项公式求出 的值. 【详解】 当 时， ； 当 时， . 不适合上式， . 因此， ； 故选：A. 【点睛】 易错点睛：利用前 项和 求通项 ，一般利用公式 ，但需要验证 是否满足 . 9．已知在数列 中， ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由累乘法可求得 ，即可求出. 【详解】 ，即 ， EMBED Equation.DSMT4 ， . 故选：C. 10．已知数列 的前 项和为 ， ，且满足 ，若 ， ， ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】 转化条件为 ，由等差数列的定义及通项公式可得 ，求得满足 的项后即可得解. 【详解】 因为 ，所以 ， 又 ，所以数列 是以 为首项，公差为2的等差数列，