专题6 三角恒等变换-2021年高考冲刺之二轮专题精讲精析

专题6三角恒等变换 一、单选题 1．将函数 的图象沿轴向左平移 个单位后得到函数 ，若 为偶函数，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式为一个角的一个三角函数的形式，通过平移求出平移后的函数的解析式，利用偶函数求出 的值． 【详解】 函数 ， 将函数 的图象沿 轴向左平移 个单位后，得到函数 ， 因为函数是偶函数， EMBED Equation.DSMT4 ． 当 时， ． 故选：A 【点睛】 结论点睛：函数 是偶函数时， 当函数 是奇函数时， 2．已知函数 ， ，则（ ） A． 的最大值为 B． 在区间 上只有 个零点 C． 的最小正周期为 D． 为 图象的一条对称轴 【答案】D 【分析】 运用二倍角的正弦公式、余弦公式和辅助角公式，推得 ，运用正弦函数的最值和周期公式，可判断AC；由 ，可判断B；由三角函数对称轴的性质计算可判断D. 【详解】 函数 ， 可得 的最大值为2，最小正周期为 ，故A、C错误； 由 可得 ，即 ， 可知 在区间 上的零点为 ，故B错误； 由 ，可知 为 图象的一条对称轴，故D正确. 故选：D 【点睛】 关键点点睛：本题考查三角函数的恒等变换，化简函数 ，根据正弦型函数的图象和性质，确定函数的周期，最值，对称轴，考查转化思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题. 3．若 ， ，则 （ ） A． B．0 C． D． 或0 【答案】B 【分析】 根据题意，化简得到 ，所以 ，取得 ，再利用三角函数的基本关系式和两角和的正弦函数公式，即可求解. 【详解】 由 ，可得 ， 即 ， 因为 ，所以 ，所以 ， 解得 ，所以 ，所以 ，所以 ， 又 ，所以 ， 所以 . 【点睛】 三角函数的化简求值的规律总结： 1、给角求值：一般给出的角是非特殊角，要观察所给角与特殊角的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题； 2、给值求值：即给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系； 3、给值求角：实质上可转化为“给值求值”即通过求角的某个三角函数值来求角（注意角的范围）. 4．已知函数 在 上恰有5个不同的零点，则实数 的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先根据二倍角三角函数公式化简解析式，再把问题转化为 在 内有五个根，借助于正弦函数的性质即可求解． 【详解】 依题意， ；令 ，即 ，故 ， 而 ，且 ，故 ， EMBED Equation.DSMT4 ，要使得函数 在 上恰有5个零点， 则方程 在 上有5个实数根，故 ，解得 . 故选：C 【点睛】 思路点睛： （1）先根据两角和与差的三角函数个数化简解析式，转化为 有解问题； （2）根据角的范围，求出整体角的范围； （3）利用正弦函数的图象判断得出结果. 5．已知函数 ，其中 ， ，且 ，若 对一切 恒成立，则（ ） A． B． 是奇函数 C． D． 在区间 上有2个极值点 【答案】D 【分析】 令 ，由已知可得 进而可写出对应的三角函数式，根据其性质判断各选项的正误即可. 【详解】 由题意得： ， ∵ 对一切 恒成立，即 ，可得 ， ∴不妨设 ，有 ； ，有 ， 综上， 当 时， ， 为偶函数， ， 在区间 上有2个极值点； 当 时， ， 为偶函数， ， 在区间 上有2个极值点； 故选：D 【点睛】 关键点点睛： 对一切 恒成立，根据三角函数的性质有 ，进而可得三角函数式，结合性质判断正误. 6．向量 ， ，则 的最大值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】 先根据向量坐标运算得 ，进而得 ，再根据三角函数性质即可得 【详解】 解：由向量的坐标运算得 ， 所以 ， 由三角函数的性质得 ，当且仅当 时，等号成立. 所以 . 故选：B. 【点睛】 本题考查向量的坐标运算，三角恒等变换求最值，考查化归转化思想与运算求解能力，是中档题.本题解题的关键是利用向量坐标运算和三角恒等变换将问题转化为 ，进而根据三角函数问题即可求解. 7．函数 EMBED Equation.DSMT4 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 化简可得 ，令 ， ，则 ，求出函数导数，利用导数判断函数的单调性即可求出最值. 【详解】 可得 ， 令 ，则 ，则 ， 则 ， 当 时， ，函数单调递增， 当 时， ，函数单调递减， 所以当 时， . 故选：A. 【点睛】 关键点睛：本题考查函数最值的求解，解题的关键是利用换元法将函数化为 ，然后利用导数讨论其单调性即可求出最值. 8．已知函数 在 处取得最小值，则函数 的一个单调递减区间为（