专题3 不等式-2021年高考冲刺之二轮专题精讲精析

专题3不等式 一、单选题 1．记全集 ，集合，集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先解不等式，化简两集合，再由交集和补集的概念，即可求出结果. 【详解】 因为 或 ， ， 所以 ， 因此 . 故选：C. 2．若正实数a，b满足 ，则 的最小值为（ ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【分析】 利用“1”的代换，将 转化为 ，利用基本不等式即可求得最小值. 【详解】 由题意得： ， 当且仅当 ，即 时等号成立， 故选：D 3．已知 ， ，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用不等式性质和指数函数的单调性，以及举反例，逐项判定，即可求解. 【详解】 对于A中，令 ，此时满足 ， ，但 ，所以不正确； 对于B中，由函数 为 上的单调递增函数，因为 ，所以 ，所以正确； 对于C中，令 ，此时满足 ， ，但 ，所以不正确； 对于D中，令 ，此时满足 ， ，但 ，所以不正确. 故选：B. 4．不等式 的解集（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 把分式不等式等价转换为与之等价的一元一次不等式，从而求出它的解集. 【详解】 不等式 ，即 ，即 ， 故选：A. 5．设实数 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】 画出可行域,根据目标函数 表示动点P与原点所确定直线的斜率求解. 【详解】 由实数 ， 满足约束条件 ，画出可行域如图所示： 目标函数 表示动点P与原点所确定直线的斜率， 当点P为点 时，目标函数取得最大值，最大值是3， 故选：D 6．设函数 ，则不等式 的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用分段函数解析式，分类讨论可将不等式转化为两个不等式组，分别解不等式，然后求并集即可． 【详解】 因为函数 ， 所以不等式 等价于 和 ， 解得 或者 和 ， 所以不等式 的解集为 ， ， ； 故选： ． 7．已知函数 ，则使得 成立的 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 令 ，则 ，从而 ，即可 ，然后构造函数 ，利用导数判断其单调性，进而可得 ，解不等式可得答案 【详解】 解：令 ，则 ， ， 所以 ， 所以 ， 令 ，则 ， 因为 ，所以 ，所以 ， 所以 在 单调递增， 所以由 ，得 ， 所以 ，解得 ， 故选：C 【点睛】 关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查函数单调性的应用，解题的关键是换元后对不等式变形得 ，再构造函数 ，利用函数的单调性解不等式 8．设 ， ，不等式 恒成立，则实数 的最大值等于（ ） A．0 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】 不等式变形为 ，再用基本不等式求得 的最小值即可． 【详解】 因为 ， ，所以不等式 恒成立，即 恒成立， 又 ，当且仅当 ，即 时等号成立． 所以 ，即 的最大值为9． 故选：C． 【点睛】 关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题时通过分离参数转化为求函数的最值，从而得出结论．而求最值有的可以应用基本不等式，有的可以利用函数的单调性，方法较多，易于求解． 9．已知 ，那么“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 根据充分条件、必要条件的定义以及基本不等式判断可得； 【详解】 解：因为 ，若 ，则 所以 即当且仅当 ， 时取等号； 若 ，当 ， 时， 则“ ”是“ ”的充分不必要条件； 故选：A 【点睛】 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 10．关于 的不等式 的解集为 或 ，则关于 的不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由不等式解集可求 ，代入 求解即可. 【详解】 由题意知： ，则有 ， ∴ ，解之得 ， 故选：B 11．已知 ，且 ，则 的最小值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】 依题意可得 ，则 ，再利用基本不等式计算可得； 【详解】 解：因为 且 ，所以 ，所以 当且仅当 ，即 ， 时取等号； 所以 的最小值为 故选：C 【点睛】 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项