考点04 三角函数与解三角形（考点专练）-2021年高考数学高分直通车（上海专用）

考点04 三角函数与解三角形 三角函数的概念及相关公式 一、单选题 1．（2020·上海高三专题练习）已知 角的始边都在 轴的正半轴上，则 是 与 的终边互为反向延长线的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】当 时，可判断两角的终边互为反向延长线，从而证明其充分性；当 与 的终边互为反向延长线时，通过举特例可证明 不一定成立，从而证明非必要性. 【详解】解：当 时， ，此时两角的终边互为反向延长线； 当 与 的终边互为反向延长线时，不妨设 ， 所以 是 与 的终边互为反向延长线的充分非必要条件， 故选: A. 【点睛】本题考查了角的概念，考查了命题的充分必要条件的判断，属于基础题. 2．（2020·上海市进才中学高三期中）关于函数 ，下列观点正确的是（） A． 的图象关于直线 对称 B． 的图象关于直线 对称 C． 的图象关于直线 对称 D． 的图象关于直线 对称 【答案】C 【分析】利用“ 等价于 的图象关于直线 对称”或反例逐项检验后可得正确的选项． 【详解】对于A，因为 ，故 ，故A错． 对于B，因为 ， 故 ，故B错． 对于C， ， ， 故 的图象关于直线 对称，故C正确． 对于D， ， 故D错．故选：C． 【点睛】结论点睛：（1）如果函数 满足 ，则 的图象关于直线 对称，反之也成立；（2）如果函数 满足 ，则 的图象关于点 对称，反之也成立． 3．（2020·上海高三专题练习）设 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出 ，再求出 ，所以 ，再利用平方关系求解. 【详解】由题得 . 当 时， ， 因为 所以 所以 . ,所以 ， ，所以 ， 所以 ， 所以 . 故选：B. 【点睛】本题主要考查同角三角函数关系求值，考查二倍角公式和辅助角公式的应用，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4．（2020·上海长宁区·高三二模）在直角坐标系 中，角 的始边为 轴的正半轴，顶点为坐标原点 ，已知角 的终边 与单位圆交于点 ，将 绕原点逆时针旋转 与单位圆交于点 ，若 ，则 （ ） A．0.6 B．0.8 C．-0.6 D．-0.8 【答案】B 【分析】已知角 的终边 与单位圆交于点 ，且 ，利用三角函数的定义，求出 ，得出 在第四象限， 绕原点逆时针旋转 与单位圆交于点 ， 可知点 在第一象限，则 ，再利用三角函数的定义和诱导公式进行化简计算，即可求出 的值. 【详解】解：已知角 的终边 与单位圆交于点 ，且 ， 则 ，解得： ， 所以 在第四象限，角 为第四象限角， 绕原点逆时针旋转 与单位圆交于点 ， 可知点 在第一象限，则 ， 所以 ，即： ， 解得： . 故选：B. 【点睛】本题考查单位圆中任意角的三角函数的定义的应用以及运用诱导公式化简，考查计算能力. 二、填空题 5．（2020·上海交通大学附属中学浦东实验高中高三期中）在半径为2米的圆形弯道中， 角所对应的弯道为_________． 【答案】 【分析】根据扇形的弧长公式，即可求解. 【详解】由题意，根据扇形的弧长公式，可得所对应的弯道为 . 故答案为： . 6．（2020·上海市五爱高级中学高三期中）若角 的终边经过点 ，则 ________ 【答案】 【分析】由三角函数的定义求出 的值，由诱导公式即可得结果. 【详解】因为角 的终边经过点 ，所以 ， 所以 ， 故答案为： . 7．（2020·上海市奉贤区曙光中学高三期中）已知 ， ，则 ________. 【答案】 【分析】根据已知条件求得 的值，由此求得 的值. 【详解】依题意 ，两边平方得 ， 而 ，所以 ， 所以 . 由 解得 ， 所以 . 故答案为： 【点睛】 知道其中一个，可通过同角三角函数的基本关系式求得另外两个，在求解过程中要注意角的范围. 8．（2020·上海市进才中学高三期中）在 中， ， ，则 =______. 【答案】3 【分析】由已知和正切和角公式求得 ，再利用三角形的内角和公式和诱导公式可得答案． 【详解】 中，有 ，所以 ， ，所以 ， 故答案为：3. 三、解答题 9．（2020·上海大学附属中学高三三模）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦´矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差. 按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田. （1）计算弧田的实际面积； （2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差