考点04 三角函数与解三角形（考点详解）-2021年高考数学高分直通车（上海专用）

考点04 三角函数与解三角形 近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数图像与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与图像和性质结合考查，先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度仍然以中档为主. 一、角与弧度制、三角函数的概念 1.角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. (2)分类 (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}. 2.弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°＝° rad；1 rad＝ 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝|α|r2lr＝ 3.任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0). (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线. 二、同角三角函数基本关系式与诱导公式 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tan__α. 2.三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin__α －sin__α sin__α cos__α cos__α 余弦 cos α －cos__α cos__α －cos__α sin__α －sin__α 正切 tan α tan__α －tan__α －tan__α 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 三、解两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β. cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β. tan(α±β)＝. 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin__αcos__α. cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. tan 2α＝. 3.函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝. ·cos(α－φ)或f(α)＝sin(α＋φ) [名师提醒] 1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β). 2.cos2α＝. ，sin2α＝ 3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝. sin 4、 三角函数的图象与性质 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(2π，0). ，(π，0)， (2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(2π，1). ，(π，－1)， 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x} x≠kπ＋ 值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 5、 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质 1.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示. x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 2.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)