考点03 函数（考点专练）-2021年高考数学高分直通车（上海专用）

考点03 函数 函数及其性质 一、单选题 1．（2020·上海高三专题练习）设[x]表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x, y, 有 （ ） A．[－x] ＝ －[x] B．[2x] ＝ 2[x] C．[x＋y]≤[x]＋[y] D．[x－y]≤[x]－[y] 【答案】D 【解析】取 ，则 ，所以A项错误； ，所以B项错误；再取 ，则 ，所以C项错误. 【考点定位】本题考查取整函数(即高斯函数)，分段函数思想.属于难题. 2．（2020·上海高三专题练习）定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为 A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】D 【解析】定义在R上的函数是奇函数， ，又是周期函数，是它的一个正周期，∴ ， ，∴ ，则可能为5，选D． 3．（2020·上海高三专题练习）函数 的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题首先可令 ，然后将函数 转化为 ，最后利用反比例函数性质得出当 时函数 的值域，即可得出结果. 【详解】令 ，则 ， 因为函数 在 上单调递减， 所以当 时函数 的值域为 ， 则函数 值域为 ， 故选：B. 【点睛】本题考查函数值域的求法，考查通过换元法求函数值域，考查反比例函数的性质，考查推理能力，是简单题. 二、填空题 4．（2020·上海高三专题练习）设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－ ，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是________. 【答案】 【分析】判断 的奇偶性和单调性，据此等价转化不等式，则问题得解. 【详解】由f(x)＝ln(1＋|x|)－ EMBED Equation.DSMT4 ， 且其定义域为 ，故f(x)为 上的偶函数， 于是f(x)＞f(2x－1)即为f(|x|)＞f(|2x－1|). 当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－ ， 在 均是单调增函数， 所以f(x)为[0，＋∞)上的增函数， 则由f(|x|)＞f(|2x－1|)得|x|＞|2x－1|， 两边平方得3x2－4x＋1＜0，解得 ＜x＜1. 故答案为： 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断，涉及利用函数性质解不等式，属综合基础题. 5．（2020·上海高三专题练习）已知 是奇函数，且 （1） ，若 ，则 ___． 【答案】-1 试题解析：因为 是奇函数且 ，所以， 则，所以． 考点：函数的奇偶性． 6．（2020·上海高三专题练习）已知函数 ，给出下列四个命题：（1） 为奇函数的充要条件是 ；（2） 的图像关于点 对称；（3）当 时，方程 的解集一定非空；（4）方程 的解的个数一定不超过两个．其中所有正确命题的序号是__________． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】根据函数奇偶性性质，中心对称，函数零点性质，依次判断每个选项得到答案. 【详解】若函数为奇函数，则 ，即 ， 若 ，则 ，函数为奇函数，故（1）正确； ，故函数关于 对称，（2）正确； 时， ，即 ，函数 的值域为 ，故（3）正确； 取 ， ，则 ，则 ， ， ，（4）错误. 故答案为：（1）（2）（3）. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，充要条件，函数的中心对称，对应方程的解，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 三、解答题 7．（2020·上海高三专题练习）已知函数f(x)＝lg(x＋1)． (1)若0<f(1－2x)－f(x)<1，求实数x的取值范围； (2)若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，有g(x)＝f(x)，当x∈[1,2]时，求函数y＝g(x)的解析式． 【答案】(1) ；(2) 【分析】（1）先求出对数函数的定义域，由对数的运算性质有 ，则 ，再根据对数函数的图象分析可得 ，从而可得 的取值范围；（2）根据题意，由函数的奇偶性与周期性分析可得 ，代入函数的解析式即可得答案. 【详解】(1)由得－1<x<1. 由0<lg(2－2x)－lg(x＋1)＝lg<1， 得1<<10.因为x＋1>0，所以x＋1<2－2x<10x＋10，解得－<x<. 由得－<x<. (2)当x∈[1,2]时，2－x∈[0,1]，因此y＝g(x)＝g(x－2)＝g(2－x)＝f(2－x)＝lg(3－x)． 【点睛】本题考查对数函数的图象以及对数不等式的解法，以及根据函数周期性与奇偶性求函数的解析式.已知当 时，函数 ，则当 时，求函数的解析式，有如下结论：若函数 为偶函数，则当 时，函数的解析式为 ；若函数 为奇函数，则函数的解析式为 8．（2020·上海高三专题练习）已知函数f(x)＝的定义域为R，值域为，求m，n的值． 【答案】 试题分析： 由，得，即 ∵，即 由，得，由根与系数的关系得，解得 考点：本题主要