考点07 锐角三角函数-2021年《三步冲刺中考·数学》（上海专用）之第1步小题夯基础

考点07 锐角三角函数 1．（2019·上海中考真题）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形 表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖 落在 的位置（如图2所示），已知 厘米， 厘米， 厘米． （1）求点 到 的距离； （2）求E、 两点的距离． 【答案】（1）点D′到BC的距离为（45 +70）厘米；（2）E、E′两点的距离是 厘米． 【分析】（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，利用旋转的性质可得出AD′=AD=90厘米，∠DAD′=60°，利用矩形的性质可得出∠AFD′=∠BHD′=90°，在Rt△AD′F中，通过解直角三角形可求出D′F的长，结合FH=DC=DE+CE及D′H=D′F+FH可求出点D′到BC的距离； （2）连接AE，AE′，EE′，利用旋转的性质可得出AE′=AE，∠EAE′=60°，进而可得出△AEE′是等边三角形，利用等边三角形的性质可得出EE′=AE，在Rt△ADE中，利用勾股定理可求出AE的长度，结合EE′=AE可得出E、E′两点的距离． 【详解】解：（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，如图3所示． 由题意，得：AD′=AD=90厘米，∠DAD′=60°．∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∴∠AFD′=∠BHD′=90°． 在Rt△AD′F中，D′F=AD′•sin∠DAD′=90×sin60°=45 厘米． 又∵CE=40厘米，DE=30厘米， ∴FH=DC=DE+CE=70厘米，∴D′H=D′F+FH=（45 +70）厘米． 答：点D′到BC的距离为（45 +70）厘米． （2）连接AE，AE′，EE′，如图4所示． 由题意，得：AE′=AE，∠EAE′=60°， ∴△AEE′是等边三角形，∴EE′=AE． ∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADE=90°． 在Rt△ADE中，AD=90厘米，DE=30厘米， ∴ 厘米，∴EE′=30 厘米． 答：E、E′两点的距离是30 厘米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）通过解直角三角形求出D′F的长度；（2）利用勾股定理求出AE的长度． 2.（2020年中考真题）如图，在直角梯形ABCD中， ，∠DAB=90°，AB=8，CD=5，BC=3 ． （1）求梯形ABCD的面积； （2）联结BD，求∠DBC的正切值． 【答案】（1）39；（2） ． 【分析】(1)过C作CE⊥AB于E，推出四边形ADCE是矩形，得到AD=CE，AE=CD=5，根据勾股定理得到 ，即可求出梯形的面积； (2) 过C作CH⊥BD于H，根据相似三角形的性质得到 ，根据勾股定理得到 ， 即可求解． 【详解】解：(1)过C作CE⊥AB于E，如下图所示： ∵AB DC，∠DAB=90°，∴∠D=90°， ∴∠A=∠D=∠AEC=90°， ∴四边形ADCE是矩形， ∴AD=CE，AE=CD=5， ∴BE=AB﹣AE=3． ∵BC=3 ，∴CE= =6， ∴梯形ABCD的面积= ×(5+8)×6=39， 故答案为：39． (2)过C作CH⊥BD于H，如下图所示： ∵CD AB，∴∠CDB=∠ABD． ∵∠CHD=∠A=90°， ∴△CDH∽△DBA，∴ ， ∵BD= = =10， ∴ ，∴CH=3， ∴BH= = =6， ∴∠DBC的正切值= = = ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了直角梯形，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 一、单选题 1．（2020·上海青浦区·九年级一模）在Rt△ABC中，∠C=90º，AC=1，AB=3，则下列结论正确的是（ ） A． ； B． ； C． ； D． ． 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，由勾股定理求出BC的长，再由锐角三角函数的定义进行解答即可. 【详解】 如图所示：∵Rt△ABC中，∠C=90º，AC=1，AB=3， ∴ ,∴ 故选：C 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练锐角三角函数的定义是解题的关键. 2．（2020·上海虹口区·）若cosα＝ ，则锐角α的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【分析】根据cosα＝ ，求出锐角α的度数即可． 【详解】解：∵cosα＝ ，∴α＝60 ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键. 3．（2020·上海市青浦区第一中学九年级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC等于（ ） A．a•tanα B．a•cotα C．a•sinα D．a