练习15 复数及其运算-2020-2021学年【补习教材·寒假作业】高二数学（苏教版）

练习15 复数及其运算 1．（2020秋•南京期中）已知复数z满足（2+i）z＝1﹣2i，其中i为虚数单位，则z＝（　　） A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i 【分析】根据复数代数形式的运算法则，计算即可． 【解答】解：复数z满足（2+i）z＝1﹣2i， 所以z＝＝＝﹣i． 故选：D． 2．（2020秋•鼓楼区校级期中）设z＝，则z的虚部为（　　） A． B．﹣ C． D．﹣ 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：∵z＝＝＝＝+i， ∴z的虚部为， 故选：A． 3．（2020秋•徐州期中）复数z＝（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】先由复数的运算化简z，再由复数的几何意义得出其对应点的坐标即可得出结论、 【解答】解：z＝＝＝＝+i， 故其对应的点的坐标为（，），位于第一象限． 故选：A． 4．（2020秋•常州期中）i是虚数单位，复数＝（　　） A．﹣﹣i B．﹣+i C．﹣i D．+i 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：＝． 故选：B． 5．（2020秋•无锡期中）复数z＝i（﹣1﹣2i）的共轭复数为（　　） A．2﹣i B．2+i C．﹣2+i D．﹣2﹣i 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案． 【解答】解：∵z＝i（﹣1﹣2i）＝2﹣i， ∴＝2+i． 故选：B． 6．（多选）（2020秋•海门市校级期中）已知复数z在复平面上对应的向量，则（　　） A．z＝﹣1+2i B．|z|＝5 C．＝1+2i D．z•＝5 【分析】由题意可得z＝﹣1+2i，再由复数的模的公式和共轭复数的定义、复数的乘法运算，可判断正确结论． 【解答】解：由题意可得z＝﹣1+2i，|z|＝＝， ＝﹣1﹣2i， z•＝（﹣1+2i）（﹣1﹣2i）＝1+4＝5， 则A、D正确，B、C错误． 故选：AD． 7．（多选）（2020春•淮安月考）已知复数（a∈R）在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2则下列结论正确的是（　　） A．z3＝8 B．z的虚部为 C．z的共轭复数为 D．z2＝4 【分析】由已知求解a，进一步求出z2与z3的值，然后逐一核对四个选项得答案． 【解答】解：∵复数在复平面内对应的点位于第二象限， ∴a＜0， 又|z|＝＝2，得a＝﹣1（a＜0）， ∴， 则， ． ∴A正确，B正确， 故选：AB． 8．（2020春•江苏月考）已知复数i（a+i）的模为1（其中i是虚数单位），则实数a的值为　 　． 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式列式求解a值． 【解答】解：∵|i（a+i）|＝|﹣1+ai|＝， ∴a2＝0，即a＝0． 故答案为：0． 9．（2020春•常熟市期中）复数z满足（其中i是虚数单位），则复数z的模等于　　 ． 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【解答】解：∵＝， ∴|z|＝． 故答案为：． 10．（2020春•连云港期末）已知i为虚数单位，设z1＝2+3i，z2＝m﹣i（m∈R），若为实数，则m＝　 　． 【分析】把z1＝2+3i，z2＝m﹣i（m∈R）代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0求解m值． 【解答】解：∵z1＝2+3i，z2＝m﹣i， ∴，要使为实数， 则3m+2＝0，解得． 故答案为：． 11．（2020春•镇江期末）已知a，b∈R，1+ai＝b+（2a+3）i，则a＝　 　，|a+3bi|＝　 　． 【分析】根据复数相等，建立方程求出a，b即可得到结论． 【解答】解：∵1+ai＝b+（2a+3）i ∴，得， 则|a+3bi|＝|﹣3+3i|＝＝＝3， 故答案为：﹣3，3 12．（2020春•张家港市期中）已知z1，z2为虚数，且满足|z1|＝5，z2＝3+4i． （1）若z1z2是纯虚数，求z1； （2）求证：为纯虚数． 【分析】（1）设z1＝a+bi（a，b∈R且b≠0），由题意列关于a，b的方程组，求解可得z1； （2）把z1＝a+bi（a，b∈R且b≠0）代入，再由复数代数形式的乘除运算化简即可证明为纯虚数． 【解答】解：（1）设z1＝a+bi（a，b∈R且b≠0）， 由|z1|＝5，得a2+b2＝25，① 由z1z2＝（a+bi）（3+4i）＝（3a﹣4b）+（4a+3b）i是纯虚数， 得3a﹣4b＝0，且4a+3b≠0，② 联立①②解得a＝4，b＝3或a＝﹣4，b＝﹣3． ∴z1＝4+3i或z1＝﹣4﹣3i； 证明：（2）＝＝ ＝． 由a2+b2＝25，b≠0，可知为纯虚数． 13．（2020春•江阴市期中）当复数z满足|z+3﹣4i|＝1时，则|