专题03 复数（知识点串讲）- 2020-2021学年高二下学期数学期末考点大串讲（苏教版）

专题03 复数（知识点串讲） 知识整合 1、数系的扩充 数系扩充的脉络是：自然数系→有理数系→实数系，用集合符号表示为N ⊆ Q⊆ R，实际上前者是后者的真子集． 2、复数的有关概念 (1)复数的概念 形如a＋bi (a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数． (2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔ a＝c，b＝d (a，b，c，d∈R)． (3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔ a＝c，b＝－d (a，b，c，d∈R)． 例 1、 若复数z满足(3＋4i)z＝1－i(i是虚数单位)，则复数z的共轭复数等于(　　) A．－－i B．－＋i C．－－i D．－＋i 例2、.若,且,则实数的取值范围是( )。 A. B. C. D. 例3、已知复数z＝＋(m2－5m－6)i(m∈R)，试求实数m分别取什么值时，z分别为： (1) 实数； (2) 虚数； (3) 纯虚数． 【跟踪练习】 1、（2020届山东实验中学高三上期中）是虚数单位，若复数，则的虚部为（ ） A． B．0 C． D．1 2、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）若复数z＝为纯虚数，则实数a的值为（ ） A．1 B．0 C．－ D．－1 3、已知i是虚数单位，复数z＝m2(1＋i)－m(2＋3i)－4(2＋i)，当m分别取何实数时，z满足如下条件？ (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零． 【解题技巧】(1)解决复数问题，首先要看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．(2)对于复数的分类问题，可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组．特别要注意：纯虚数的充要条件是：a＝0且b≠0. 知识整合 复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 1. 加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； 1. 减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； 1. 乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④ 除法：＝＝ (c＋di≠0)． (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何∈C，有 z1＋z2＝，(z1＋z2)＋z3＝． 例 4、 若复数满足（为虚数单位），则为 (A) (B) (C) (D) 例5、（2020·山东省淄博实验中学高三期末）已知复数，为虚数单位，则（ ） A． B． C． D．的虚部为 例6、（2020全国Ⅱ文2） （ ） A． B．4 C． D． 【跟踪练习】 1、（2020山东2） （ ） A． B． C． D． 2、（2019全国Ⅱ文）设，则 A． B． C． D． 3、（2020天津10）是虚数单位，复数_________． 【解题技巧】复数的加减运算类似于实数中的多项式的加减运算(合并同类项)，复数的乘除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意i的幂的性质，区分(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2与(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘以分母的共轭复数)，此时要注意区分(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2与(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，防止实数中的相关公式与复数运算混淆，造成计算失误． 知识整合 .1、复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．x轴叫做实轴， y轴叫做虚轴．实轴上的点表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数． 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点为起点的向量组成的集合也是一一对应的． 2、复数的模 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝． 例 7、 （2019全国Ⅰ理）设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则 A． B． C． D． 例8、（湖北省孝感市八校高二上学期期末考试）已知复数， （， 为虚数单位）. （1）若是纯虚数，求实数的值； （2）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围.[来源:学科网ZXXK] 【跟踪练习】 1、已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是 A． B．