练习14 导数的应用（2）-2020-2021学年【补习教材·寒假作业】高二数学（苏教版）

练习14 导数的应用（2） 1．（2019秋•沭阳县期中）函数f（x）＝﹣2x在区间上的最小值为（　　） A．﹣1 B． C． D．1 【分析】求导数，确定函数在区间上单调递减，即可求出函数的最小值． 【解答】解：∵， ∴f′（x）＝﹣﹣2 ∴函数在区间上单调递减， ∴x＝﹣时，函数的最小值为﹣2+1＝﹣1． 故选：A． 2．（2020秋•鼓楼区校级月考）若函数f（x）＝x3+x2﹣2在区间（a﹣4，a）上存在最小值，则a的取值范围是（　　） A．（0，4） B．[0，4） C．[1，4） D．（1，4） 【分析】求函数f（x）的导数，研究其最小值取到的位置，由于函数在区间（a﹣4，a）上有最小值，列出不等式，由此可以得到关于参数a的等式，解之求得实数a的取值范围． 【解答】解：f（x）＝x3+x2﹣2， f′（x）＝x2+2x＝x（x+2）， 令f′（x）＞0，解得：x＞0或x＜﹣2， 令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜0， 故f（x）在（﹣∞，﹣2）递增，在（﹣2，0）递减，在（0，+∞）递增， 故f（x）min＝f（x）极小值＝f（0）， 若f（x）在区间（a﹣4，a）上存在最小值， 则f（a﹣4）≥f（0）即（a﹣4）3+（a﹣4）2﹣2≥﹣2，解得：a≥1①， 而a﹣4＜0＜a，解得：0＜a＜4②， 综合①②得：1≤a＜4， 故选：C． 3．（2020春•江阴市期中）函数f（x）＝12x﹣x3在区间[﹣3，3]上的最小值是（　　） A．﹣9 B．﹣16 C．﹣12 D．﹣11 【分析】由已知得f′（x）＝12﹣3x2，由f′（x）＝0，得x＝﹣2，或x＝2，由此利用导数性质能求出函数f（x）＝12x﹣x3在区间[﹣3，3]上的最小值． 【解答】解：∵f（x）＝12x﹣x3， ∴f′（x）＝12﹣3x2， 由f′（x）＝0，得x＝﹣2，或x＝2， ∵f（﹣3）＝﹣9，f（﹣2）＝﹣16，f（2）＝16，f（3）＝9， ∴函数f（x）＝12x﹣x3在区间[﹣3，3]上的最小值是：f（﹣2）＝﹣16． 故选：B． 4．（2020春•常熟市期中）若函数f（x）＝x3﹣3bx+2在区间（2，3）内单调递增，则实数b的取值范围是（　　） A．b≤4 B．b＜4 C．b≥4 D．b＞4 【分析】首先求出函数f（x）的导数，然后根据函数f（x）＝x3﹣3bx+2在区间（2，3）内单调递增，可得到∀x∈（2，3），x2﹣b≥0恒成立，求出x2的范围即可求得b的取值范围． 【解答】解：f（x）＝x3﹣3bx+2，则f（x）′＝3x2﹣3b， 因为函数f（x）在区间（2，3）内单调递增， 所以导函数f′（x）在区间（2，3）内大于等于0恒成立， 即∀x∈（2，3），x2﹣b≥0恒成立， 又x∈（2，3）时，x2∈（4，9）， 所以b≤4． 故选：A． 5．（2020春•鼓楼区校级期中）定义在R上的可导函数f（x）满足f′（x）＜1，若f（m）﹣f（1﹣2m）≥3m﹣1，则m的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣1] B． C．[﹣1，+∞） D． 【分析】构造函数，并求出函数的导数，结合函数的单调性得到关于m的不等式，解出即可． 【解答】解：令g（x）＝f（x）﹣x， g′（x）＝f′（x）﹣1＜0， 故g（x）单调递减． f（m）﹣m≥f（1﹣2m）+2m﹣1， 即g（m）≥g（1﹣2m）， m≤1﹣2m，解得：． 故选：B． 6．（多选）（2020春•徐州期中）已知不等式（x﹣2）ex≥a对任意的x∈R恒成立，则满足条件的整数a的可能值为（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1 【分析】令f（x）＝（x﹣2）ex，由题意可得，a≤f（x）min，结合导数即可求解． 【解答】解：令f（x）＝（x﹣2）ex，则f′（x）＝（x﹣1）ex， 易得当x＞1时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x＜1时，f′（x）＜0，函数单调递减， 故当x＝1时，函数取得最小值f（1）＝﹣e， 故a≤﹣e， 结合选项可知，AB符合． 故选：AB． 7．（多选）（2020春•南通期中）若直线是函数f（x）图象的一条切线，则函数f（x）可以是（　　） A． B．f（x）＝x4 C．f（x）＝sinx D．f（x）＝ex 【分析】求得已知直线的斜率k，对选项中的函数分别求导，可令导数为k，解方程即可判断结论． 【解答】解：直线的斜率为k＝， 由f（x）＝的导数为f′（x）＝﹣，即有切线的斜率小于0，故A不能选； 由f（x）＝x4的导数为f′（x）＝4x3，而4x3＝，解得x＝，故B可以选； 由f（x）＝sinx的导数为f′（x）＝cosx，而cosx＝有解，故C可以选； 由f（x）＝ex的导数为f′（x）＝ex，而ex＝，解得x＝﹣ln2，故D可以选． 故