练习12 导数及其运算-2020-2021学年【补习教材·寒假作业】高二数学（苏教版）

练习12 导数及其运算 1．（2020春•苏州期中）如果一质点的运动方程为S＝2t3（位移单位：米；时间单位：秒），则该质点在t＝3秒时的瞬时速度为（　　） A．6米/秒 B．18米/秒 C．54米/秒 D．81米/秒 【分析】求出导数，再将t＝3代入，由此可求得瞬时速度． 【解答】解：（法一）∵S＝2t3， ∴S′＝6t2， ∴当t＝3时，S′＝6×9＝54， 故选：C． （法二）∵S＝2t3， ∴＝＝， 故选：C． 2．（2020春•苏州期末）下列导数运算正确的是（　　） A．C'＝1（C为常数） B． C．（ex）′＝ex（e为自然对数的底数） D．（sinx）'＝﹣cosx 【分析】根据导数的基本公式判断即可． 【解答】解：C'＝0，（C为常数），（）′＝﹣，（ex）'＝ex，（sinx）'＝cosx， 故选：C． 3．（2020春•蓝田县期末）下列求导运算正确的是（　　） A． B． C．（3x）'＝3xlog3e D．（sin2x）'＝cos2x 【分析】由导数的运算法则分别求导，再逐一判断． 【解答】解：对于A，（x+）′＝1﹣，错误； 对于B，（log2x）′＝，正确； 对于C，（3x）′＝3xln3，错误； 对于D，（sin2x）′＝2cos2x，错误； 故选：B． 4．（2020春•东海县期中）如图，点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））在函数f（x）的图象上，且x2＜x1，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（x1）与f′（x2）的大小关系是（　　） A．f′（x1）＞f′（x2） B．f′（x1）＜f′（x2） C．f′（x1）＝f′（x2） D．不能确定 【分析】根据题意，由导数的几何意义可得f′（x1）为点A处切线的斜率，f′（x2）为点B处切线的斜率，结合函数的图象分析切线的斜率，比较即可得答案． 【解答】解：根据题意，点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2），f′（x）为f（x）的导函数， 则f′（x1）为点A处切线的斜率，设其斜率为k1， f′（x2）为点B处切线的斜率，设其斜率为k2， 由函数的图象可得k1＞k2，即有f′（x1）＞f′（x2）；故选：A． 5．（2020秋•全国月考）若曲线y＝ex+2x在其上一点（x0，y0）处的切线的斜率为4，则x0＝（　　） A．2 B．ln4 C．ln2 D．﹣ln2 【分析】求出导函数y′＝ex+2，然后根据题意即可得出，从而解出x0即可． 【解答】解：∵y′＝ex+2， ∴，∴，x0＝ln2． 故选：C． 6．（多选）（2020春•常熟市期中）以下函数求导正确的是（　　） A．若，则 B．若f（x）＝e2x，则f'（x）＝e2x C．若，则 D．若，则 【分析】利用基本初等函数的求导公式与简单复合函数的求导法则逐一求导得答案． 【解答】解：若，则f′（x）＝，故A正确； 若f（x）＝e2x，则f'（x）＝e2x•（2x）′＝2e2x，故B错误； 若，则f′（x）＝•＝，故C正确； 若，则f′（x）＝，故D错误． 故选：AC． 7．（多选）（2020秋•泰州期中）某港口一天24h内潮水的高度S（单位：m）随时间t（单位：h，0≤t≤24）的变化近似满足关系式S（t）＝3sin（t+），则下列说法正确的有（　　） A．S（t）在[0，2]上的平均变化率为m/h B．相邻两次潮水高度最高的时间间距为24h C．当t＝6时，潮水的高度会达到一天中最低 D．18时潮水起落的速度为m/h 【分析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，S（t）在[0，2]上的平均变化率＝＝﹣，A错误， 对于B，S（t）＝3sin（t+），其最小正周期为＝24，则相邻两次潮水高度最高的时间间距为24h，B正确， 对于C，当t＝6时，S（6）＝3sin（×6+）＝﹣3，不是S（t）的最小值，C错误， 对于D，S（t）＝3sin（t+），其导数S′（t）＝3（t+）′cos（t+）＝cos（t+），则有S′（18）＝，D正确， 故选：BD． 8．（2020春•广陵区校级期中）已知函数f（x）＝x2，则＝　 　． 【分析】先求出f′（x），＝f′（1），能求出结果． 【解答】解：∵f′（x）＝2x， ∴＝f′（1）， ∴f′（1）＝2， 故答案为：2 9．（2019春•南通期中）函数f（x）＝2x+1在区间[0，5]上的平均变化率为　 　． 【分析】根据题意，结合函数的解析式，由变化率公式计算可得答案． 【解答】解：根据题意，函数f（x）＝2x+1， 则其在区间[0，5]上的平均变化率＝＝2； 故答案为：2 10．（2020春•常熟市期中）设函数f（x）满足f（x）＝x2+3f′（1）x+1，则f（3）的值为