练习8 双曲线-2020-2021学年【补习教材·寒假作业】高二数学（苏教版）

练习8 双曲线 1．（2020秋•淮安期中）双曲线mx2+y2＝1的虚轴长是实轴长的3倍，则m的值为（　　） A．9 B．﹣9 C． D．﹣ 【分析】由题意可得m＜0，化双曲线方程为标准方程，求得实半轴与虚半轴长，再由已知列式求得m值． 【解答】解：∵方程mx2+y2＝1表示双曲线，则m＜0， 化双曲线方程为标准方程， 则a2＝1，， ∴a＝1，b＝， 由题意可得，3＝，解得m＝﹣． 故选：D． 2．（2020秋•江苏期中）在平面直角坐标系xOy中，若点P（4，0）到双曲线C：﹣＝1的一条渐近线的距离为6，则双曲线C的离心率为（　　） A．2 B．4 C． D． 【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式，求解a，然后求解双曲线的离心率即可． 【解答】解：双曲线C：﹣＝1的一条渐近线：y＝． 点P（4，0）到双曲线C：﹣＝1的一条渐近线的距离为6， 可得：，解得a＝，b＝3，则c＝2， 所以双曲线的离心率为：e＝＝2． 故选：A． 3．（2020秋•如皋市期中）已知双曲线的右焦点为F，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D．2 【分析】设双曲线的左焦点为F'，连接AF'，BF'，CF'，由题意推得四边形AFBF'为矩形，可设|BF|＝t，则|FC|＝3t，|BF'|＝2a+t，|CF'|＝3t+2a，分别在直角三角形CBF'和直角三角形BFF'中，运用勾股定理，结合离心率公式可得所求值． 【解答】解：设双曲线的左焦点为F'，连接AF'，BF'，CF'， 由可得AF⊥BF，四边形AFBF'为矩形， 可设|BF|＝t，则|FC|＝3t，|BF'|＝2a+t，|CF'|＝3t+2a， 在直角三角形CBF'中，可得|BC|2+|BF'|2＝|CF'|2， 即为（4t）2+（2a+t）2＝（3t+2a）2， 解得t＝a， 又在直角三角形BFF'中，|BF|2+|BF'|2＝|FF'|2， 即为t2+（2a+t）2＝4c2， 即为a2+9a2＝10a2＝4c2， 即有e＝＝， 故选：B． 4．（2020秋•南京期中）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，点M，N在双曲线C上，若四边形OFMN为菱形，则双曲线C的离心率为（　　） A．﹣1 B．﹣1 C．+1 D．+1 【分析】利用四边形OFMN（O为坐标原点）为菱形，结合双曲线的对称性，求出M的坐标，代入双曲线方程然后求解离心率． 【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，点M，N在双曲线C上，且四边形OFMN为菱形， 不妨M在x轴上方，可知M（﹣，），代入双曲线方程可得：＝1． 可得e4﹣8e2+4＝0，e＞1， 可得e2＝． 可得e＝． 故选：C． 5．（2020秋•高港区校级月考）设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|AF2|+|BF2|的最小值为（　　） A．20 B．21 C．22 D．23 【分析】根据双曲线的标准方程可得a，b，再由双曲线的定义可得：|AF2|﹣|AF1|＝2a＝4，|BF2|﹣|BF1|＝2a＝4，所以得到|AF2|+|BF2|﹣（|AF1|+|BF1|）＝8，再根据A、B两点的位置特征可得|AB|是双曲线的通径时，|AB|最小，计算即可得到答案． 【解答】解：根据双曲线，得a＝4，b＝2， 由双曲线的定义可得：|AF2|﹣|AF1|＝2a＝8…①， |BF2|﹣|BF1|＝2a＝8…②， ①+②可得：|AF2|+|BF2|﹣（|AF1|+|BF1|）＝16， 由于过双曲线的左焦点F1的直线交双曲线的左支于A，B两点， 可得|AF1|+|BF1|＝|AB|，当|AB|是双曲线的通径时|AB|最小． 即有|AF2|+|BF2|﹣（|AF1|+|BF1|）＝|AF2|+|BF2|﹣|AB|＝16． 即有|BF2|+|AF2|＝|AB|+16≥+16＝+16＝22． 故选：C． 6．（多选）（2020秋•邗江区校级期中）下列双曲线中，以y＝±2x为渐近线的双曲线的标准方程为（　　） A．x2﹣＝1 B．＝1 C．y2﹣＝1 D．＝1 【分析】分别求解双曲线的渐近线方程，即可得到选项． 【解答】解：x2﹣＝1的渐近线方程为：y＝±2x； ＝1的渐近线方程为：y＝±2x； y2﹣＝1的渐近线方程为：y＝±x； ＝1的渐近线方程为：y＝±2x； 故选：ABD． 7．（多选）（2020秋•连云港期中）下列有关双曲线2x2﹣y2＝8的性质说法正确的是（　　） A．离心率为 B．顶点坐标为（0，±2） C．实轴长为4 D．虚轴长为 【分析】化简双曲线方程为标准方程，求出a，b，