必修1 3.2　函数模型及其应用-高考数学大二轮总复习【知识清单-涂考点】（高中全阶段通用）

§3.2　函数模型及其应用 1．几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)=＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2＋bx＋c (a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)=bax＋c (a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 f(x)=blogax＋c (a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 f(x)=axn＋b (a，b为常数，a≠0) 2.三种函数模型的性质 函数 性质 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xn(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 3.应用函数模型解函数应用题的步骤 典例1 高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v=f(h)的大致图象是(　　) 答案　B 方法归纳 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案． 典例2 某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q=8 300－170p－p2，则最大毛利润为(毛利润=销售收入－进货支出 )(　　) A．30元 B．60元 C．28 000元 D．23 000元 解析　设毛利润为L(p)元，则由题意知 L(p)=pQ－20Q=Q(p－20) =(8 300－170p－p2)(p－20) =－p3－150p2＋11 700p－166 000， 所以L′(p)=－3p2－300p＋11 700. 令L′(p)=0，解得p=30或p=－130(舍去)． 当p∈(0,30)时，L′(p)>0，当p∈(30，＋∞)时，L′(p)<0，故L(p)在p=30时取得极大值，即最大值，且最大值为L(30)=23 000. 答案　D 方法归纳 求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题． v=f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小 L(p)=pQ－20Q=Q(p－20) $$