专题21 旋转型相似模型-2021年中考数学解题方法归纳提升

专题21 旋转型相似模型 一、单选题 1．如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ 　 ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、解答题 2．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M． （1）求证：△MFC∽△MCA； （2）求证△ACF∽△ABE； （3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的边长． 3．如图，在中，∠AC8=90°，∠BAC=a，点D在边AC上（不与点A、C重合）连接BD，点K为线段BD的中点，过点D作于点E，连结CK，EK，CE，将△ADE绕点A顺时针旋转一定的角度（旋转角小于90度) (1)如图1．若a=45，则的形状为__________________； (2)在（1)的条件下，若将图1中的三角形ADE绕点A旋转，使得D，E，B三点共线，点K为线段BD的中点，如图2所示，求证：； (3)若三角形ADE绕点A旋转至图3位置时，使得D，E，B三点共线，点K仍为线段BD的中点，请你直接写出BE，AE，CK三者之间的数量关系（用含a的三角函数表示） 4．（问题发现）（1）如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B、C重合）将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连结EC，则线段BD与CE的数量关系是　 ，位置关系是　 ； （探究证明）（2）如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，BD与CE具有怎样的位置关系，并说明理由； （拓展延伸）（3）如图3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，将△ACD绕顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角∠CAE为α（0°＜α＜360°），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段BE的长度． 5．（1）尝试探究：如图①，在中，，，点、分别是边、上的点，且EF∥AB． ①的值为_________； ②直线与直线的位置关系为__________； （2）类比延伸：如图②，若将图①中的绕点顺时针旋转，连接，，则在旋转的过程中，请判断的值及直线与直线的位置关系，并说明理由； （3）拓展运用：若，，在旋转过程中，当三点在同一直线上时，请直接写出此时线段的长． 6．△ABE内接于⊙O，C在劣弧AB上，连CO交AB于D，连BO，∠COB＝∠E． （1）如图1，求证：CO⊥AB； （2）如图2，BO平分∠ABE，求证：AB＝BE； （3）如图3，在(2)条件下，点P在OC延长线上，连PB，ET⊥AB于T，∠P＝2∠AET，ET＝18，OP＝25，求⊙O半径的长． 7．矩形中，，点分别在边上，且，连接并延长，交的延长线于点，点为射线上一动点，过点作的垂线，交于点． （1）特例发现，如图，若点恰好与点重合，填空： ①________；②与的等量关系为_________． （2）拓展探究 如图，若点在的延长线上，与能否相等？若能，求出的长；若不能，请说明理由． （3）思维延伸 如图，点是线段上异于点一点，连接，过点作直线，交直线于点，是否存在点，使相等？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 8．已知，ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2α°，点D为BC边中点，连接AD，点E为线段AD上一动点，把线段CE绕点E顺时针旋转2α°得到线段EF，连接FG，FD． （1）如图1，当∠BAC＝60°时，请直接写出的值； （2）如图2，当∠BAC＝90°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由； （3）如图3，当点E在AD上移动时，请直接写出点E运动到什么位置时的值最小．最小值是多少？（用含α的三角函数表示） 9．如图，函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）两点，m，n分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n． （Ⅰ）求m，n的值以及函数的解析式； （Ⅱ）设抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，连接AB，BC，BD，CD．求证：△BCD∽△OBA； （Ⅲ）对于（Ⅰ）中所求的函数y＝﹣x2+bx+c， （1）当0≤x≤3时，求函数y的最大值和最小值； （2）设函数y在t≤x≤t+1内的最大值为p，最小值为q，若p﹣q＝3，求t的值． 10．如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，将△COD绕点O逆时针旋转得到△EOF（旋转角为锐角），连AE，BF，DF，则AE=BF． （1）如图2，若（1）中的正方形为矩形，其他条件不变． ①探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论； ②若BD=