专题18 双A字形相似模型-2021年中考数学解题方法归纳提升

专题18 双A字形相似模型 一、单选题 1．如图，△ABO的顶点A在函数y＝（x>0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若△ANQ的面积为1，则k的值为（　　） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】D 【分析】 易证△ANQ∽△AMP∽△AOB，由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出△ANQ的面积，进而可求出△AOB的面积，则k的值也可求出． 【详解】 解：∵NQ∥MP∥OB， ∴△ANQ∽△AMP∽△AOB， ∵M、N是OA的三等分点， ∴，， ∴， ∵四边形MNQP的面积为3， ∴， ∴S△ANQ=1， ∵， ∴S△AOB=9， ∴k=2S△AOB=18， 故选：D． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质以及反比例函数k的几何意义，正确的求出S△ANQ=1是解题的关键． 2．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点G、F在BC边上，四边形DEFG是正方形．若DE=2cm，则AC的长为 ( ) A．cm B．4cm C．cm D．cm 【答案】D 【解析】 ∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE=BC，∵DE=2cm，∴BC=4cm， ∵AB=AC，四边形DEFG是正方形．∴△BDG≌△CEF，∴BG=CF=1，∴EC=，∴AC=2cm． 故选D． 3．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE//BD，且交AB于点E，GF//AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据平行线截得的线段对应成比例以及相似三角形的性质定理，逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】 ∵ ∴∆AEG~∆ABD ∴ ∴∆DFG~∆DCA ∴A错误， ∵， ∴， ∴B错误， ∵∆DFG~∆DCA， ∆AEG~∆ABD， ∴，， ∴， ∴C错误， ∵，， ∴， ∴D正确， 故选D． 【点睛】 本题主要考查平行线截线段定理以及相似三角形的性质定理，掌握平行线截得的线段对应成比例是解题的关键． 4．如图．在△ABC中，DE∥BC，∠B=∠ACD，则图中相似三角形有（　　） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】C 【分析】 根据相似三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】 ∵∠B=∠ACD，∠A=∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴△ACD∽△ADE， ∵DE∥BC， ∴∠EDC=∠DCB， ∵∠B=∠DCE， ∴△CDE∽△BCD， 故共4对， 故选：C． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定．注意掌握数形结合思想的应用，注意平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 5．如图，已知若的面积为，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据相似三角形的性质得出，代入求出即可． 【详解】 解：∵△ADE∽△ABC，AD：AB＝1：3， ∴， ∵△ABC的面积为9， ∴， ∴S△ADE＝1， 故选：A． 【点睛】 二、解答题 6．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、B的坐标分别为A(4，0)、B(4，3)，动点M、N分别从点O、B同时出发，以1单位/秒的速度运动(点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动)，过点N作交AC于点P，连结MP． （1）直接写出OA、AB的长度； （2）试说明； （3）在两点的运动过程中，求的面积S与运动的时间t的函数关系式，并求出时，运动时间t的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），2． 【分析】 （1）根据点A、B的坐标即可得； （2）先根据平行线的性质可得，再根据相似三角形的判定即可得； （3）先根据矩形的性质、线段的和差可得，再根据相似三角形的性质可得，从而可得，由此可得的AM边上的高为，然后利用三角形的面积公式可得与的函数关系式，最后解一元二次方程可得的值． 【详解】 （1）， ； （2）， ∴， ∴； （3）由题意得：，且， 则， 四边形OABC是矩形， ， ， ∵， ∴，即， 解得， ， ， 的AM边上的高为， ， 即， 当时，， 解得， 故的值为2． 【点睛】 本题考查了矩形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、求二次函数的自变量等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 7．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点的顶点、的坐标分别为，．顶点在轴的正半轴上，，． （1）求的长度． （2）动点从出发，沿轴负方向以每秒个单位的速度运动，设的运动时间为秒，的面积为，请用含的式子表示，并直接写出相应的取值范围． （3）在（2）的条件下，在射线上取一点，使，过作交直线于点，当时，求值和