专题17 角平分线和高线的夹角-2021年中考数学解题方法归纳提升

专题17 角平分线和高线的夹角 1．如图，中，一内角和一外角的平分线交于点连结，_______________________. 2．如图，在中，、分别是的高和角平分线，，，则__________度． 3．如图，CD、CE分别是△ABC的高和角平分线，∠A＝30°，∠B＝60°，则∠DCE＝_______． 二、解答题 4．（1）如图1，的内角的平分线与外角的平分线相交于P点，请探究与的关系，并说明理由 （2）如图②③，四边形ABCD中，设为四边形ABCD的内角与外角的平分线所在直线相交而形成 锐角，请利用（1）中的结论完成下列问题： ①如图②，若，求的度数（用的代数式表示，记得把图转化为图） ②如图③，若，请在图③中画出，并直接写出=______（用的代数式表示） 5．小学我们已经知道三角形三个内角和是180°，对于如图1中，，交于点，形成的两个三角形中的角存在以下关系：①；②．试探究下面问题： 已知的平分线与的平分线交于点， （1）如图2，若，，，则_________； （2）如图3，若不平行，，，则_______． （3）在总结前两问的基础上，借助图3，探究与、之间是否存在某种等量关系？若存在，请说明理由；若不存在，请举例说明． 6．在△ABC中，已知∠A＝α． （1）如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D． ①当α＝70°时，∠BDC度数＝　 　度（直接写出结果）； ②∠BDC的度数为　 　（用含α的代数式表示）； （2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACE角平分线交于点F，求∠BFC的度数（用含α的代数式表示）． （3）在（2）的条件下，将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC，∠GBC的角平分线与∠GCB的角平分线交于点M（如图3），求∠BMC的度数（用含α的代数式表示）． 7．如图所示，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，，，求、的度数. 8．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD=15°，∠B=40°． （1）求∠C的度数． （2）若：∠EAD=α，∠B=β，其余条件不变，直接写出用含α，β的式子表示∠C的度数． 9．如图，、分别是的高和角平分线，，，求的度数. 10．如图，在中，是角平分线，是延长线上一动点，于点下，试探索与、的数量关系. 11．如图，在中，，，平分，于，于，求. 12．如图，在中，，为内一点，使得，求的度数． 13．如图，在中，是的平分线，为上一动点，，交的延长线于点. （1）若，，求的度数； （2）当点在上运动时，探求与、之间的数量关系，并证明. 14．如图，在中，，于，平分，试用表示. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题17 角平分线和高线的夹角 1．如图，中，一内角和一外角的平分线交于点连结，_______________________. 【解析】66° 【分析】 过D作，DF⊥BE于F，DG⊥AC于G，DH⊥BA，交BA延长线于H，由BD平分∠ABC，可得∠ABD=∠CBD，DH=DF，同理CD平分∠ACE，∠ACD=∠DCF=，DG=DF，由∠ACE是△ABC的外角，可得2∠DCE=∠BAC+2∠DBC①，由∠DCE是△DBC的外角，可得∠DCE=∠CDB+∠DBC②，两者结合，得∠BAC=2∠CDB，则∠HAC=180º-∠BAC，在证AD平分∠HAC，即可求出∠CAD． 【详解】 过D作，DF⊥BE于F，DG⊥AC于G，DH⊥BA，交BA延长线于H， ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC，DH=DF， ∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=∠DCF=∠ACE，DG=DF， ∵∠ACE是△ABC的外角， ∴∠ACE=∠BAC+∠ABC， ∴2∠DCE=∠BAC+2∠DBC①， ∵∠DCE是△DBC的外角， ∴∠DCE=∠CDB+∠DBC②， 由①②得，∠BAC=2∠CDB=2×24º=48º， ∴∠HAC=180º-∠BAC=180º-48º=132º， ∵DH=DF，DG=DF， ∴DH=DG， ∵DG⊥AC，DH⊥BA， AD平分∠HAC， ∠CAD=∠HAD=∠HAC=×132º=66º． 故答案为：66． 【点睛】 本题考查角的求法，关键是掌握点D为两角平分线交点，可知AD为角平分线，利用好外角与内角的关系，找到∠BAC=2∠CDB是解题关键． 2．如图，在中，、分别是的高和角平分线，，，则__________度． 【解析】5 【分析】 先根据三角形的内角和定理得到∠BAC的度数，再利用角平分线的性质可求出∠EAC=∠BAC，而∠DAC=90°-∠C，然后利用∠DAE=∠EAC-∠DAC进行计算即可． 【详解】 解：在△ABC中， ∵∠B=50°，∠C=60°