第三章 函数与分析（3）（用待定系数法求函数的解析式）-备战2021年中考数学考点帮（上海专用）

备战2021年中考数学考点一遍过（上海专用） 第三章 函数与分析（3）用待定系数法求函数的解析式 知识梳理 1．如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例． 2．解析式形如（是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数．其中常数叫做比例系数． 3．如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例． 4．解析式形如（是常数，）的函数叫做反比例函数．其中常数叫做比例系数． 5．一般的，解析式形如（为常数，且）的函数叫做一次函数． 6．一般的，解析式形如（其中是常数，且）的函数叫做二次函数． 【总结】函数的定义给出了基本形式，因此我们通常可以用待定系数法去求解函数解析式，一般有几个未知系数就需要几个点的坐标来求解． 例题精讲 【例1】已知正比例函数的图像经过点（－2，4），则正比例函数的解析式是 ． 【参考答案】． 【例2】如果正比例函数的图像经过点（2，4）和（，－3），那么的值等于 ． 【参考答案】． 【例3】已知点（2，－1）在反比例函数的图像上，那么 ． 【参考答案】－2． 【解题技巧】反比例函数图像上的点横坐标与纵坐标的乘积为定值． 【例4】如果点、在同一个反比例函数的图像上，点的坐标为（2，3），点横坐标为3，那么点的纵坐标是 ．学 【参考答案】2． 【例5】一次函数的图像与轴交点的纵坐标为－3，且当时， －1，则该一次函数的解析式是 ． 【参考答案】． 【解题技巧】一次函数图像与轴交点的纵坐标为截距，即的值． 【例6】如果一次函数图像经过、两点（如图），则该一次函数的解析式为 ． 【参考答案】． 【例7】（金山2014一模20） 已知一个二次函数的图像经过点（4，1）和（，6）．求这个二次函数的解析式． 【参考答案】 解：由题意，得． 解这个方程组,得． ∴所求二次函数的解析式是． 【例8】 在平面直角坐标系中，已知，点（3，0）、（－2，5）、（0，－3）．求经过点、、的抛物线的表达式． 【参考答案】 解：设经过点、、的抛物线的表达式为． 则． 解得：． ∴经过点、、的抛物线的表达式为． 【总结】 待定系数法求解析式的基本步骤为：先设解析式的基本形式，系数待定，再利用已知条件（一般为解析式所表示的函数图像经过的点的坐标）建立方程 真题训练 1．（2020·上海中考真题）在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A、B(如图)．抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A． （1）求线段AB的长； （2）如果抛物线y=ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC=，求这条抛物线的表达式； （3）如果抛物线y=ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围． 【答案】（1）5；（2）y=﹣x2+x；（3）﹣＜a＜0． 【分析】（1）先求出A，B坐标，即可得出结论； （2）设点C（m，-m+5），则BC=|m，进而求出点C（2，4），最后将点A，C代入抛物线解析式中，即可得出结论； （3）将点A坐标代入抛物线解析式中得出b=-10a，代入抛物线解析式中得出顶点D坐标为（5，-25a），即可得出结论． 【详解】（1）针对于直线y=﹣x+5，令x=0，y=5，∴B(0，5)， 令y=0，则﹣x+5=0，∴x=10，∴A(10，0)， ∴AB==5； （2）设点C(m，﹣m+5)．∵B(0，5)， ∴BC==|m|． ∵BC=，∴|m|=，∴m=±2． ∵点C在线段AB上，∴m=2，∴C(2，4)， 将点A(10，0)，C(2，4)代入抛物线y=ax2+bx(a≠0)中，得， ∴，∴抛物线y=﹣x2+x； （3）∵点A(10，0)在抛物线y=ax2+bx中，得100a+10b=0， ∴b=﹣10a， ∴抛物线的解析式为y=ax2﹣10ax=a(x﹣5)2﹣25a， ∴抛物线的顶点D坐标为(5，﹣25a)， 将x=5代入y=﹣x+5中，得y=﹣×5+5=， ∵顶点D位于△AOB内，∴0＜﹣25a＜，∴﹣＜a＜0． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，抛物线的顶点坐标的求法，求出点D的坐标是解本题的关键． 模拟题专练 一、单选题 1．（2020·上海嘉定区·九年级一模）如果A(-2，n)，B(2，n),C(4，n+12)这三