练习5 数列求和-2020-2021学年【补习教材·寒假作业】高二数学（苏教版）

练习5 数列求和 1．（2020秋•鼓楼区校级期中）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝7，S6＝48，数列{bn}满足2bn+1＝bn+2，b1＝3． （1）证明：数列{bn﹣2}是等比数列，并求数列{an}与数列{bn}通项公式； （2）若cn＝an（bn﹣2），求数列{cn}的前n项和Tn． 【分析】（1）直接利用关系式的变换和等比数列的定义的应用求出结果． （2）利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出数列的和． 【解答】证明：（1）数列{bn}满足2bn+1＝bn+2，b1＝3， 整理得：（常数）， 所以数列{bn﹣2}是1为首项为公比的等比数列． 所以：， 整理得． 设首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝7，S6＝48， 所以，解得a1＝3，d＝2． 故an＝3+2（n﹣1）＝2n+1． （2）由（1）得：， 所以①， ②， ①﹣②得：， ＝， 整理得． 2．（2020秋•启东市期中）已知数列{an}是递增的等比数列，前3项和为13，且a1+3，3a2，a3+5成等差数列， （1）求数列{an}的通项公式； （2）数列{bn}的首项b1＝1，其前n项和为Sn，且____，若数列{cn}满足cn＝anbn，{cn}的前n项和为Tn，求Tn的最小值． 在如下三个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题． ①3Sn+bn＝4；②bn＝bn﹣1+2（n≥2）；③5bn＝﹣bn﹣1（n≥2）． 【分析】（1）由题意列式求解a2及公比，则等比数列的通项公式可求； （2）选①，运用数列的递推式，结合等比数列的定义和通项公式可得bn，再由等比数列的求和公式，可得所求最小值； 选②bn＝bn﹣1+2（n≥2），运用等差数列的通项公式可得bn＝2n﹣1，cn＝anbn＝（2n﹣1）•3n﹣1，再由数列的错位相减法求和，可得Tn，再由数列的单调性可得所求最小值； 选③，运用等比数列的定义和通项公式、求和公式，结合n为奇数和偶数，可得所求最小值． 【解答】解：1）由题意得， 可得a2＝3，a1+a3＝10， 设递增的等比数列数列{an}的公比为q， 得+3q＝10， 解得q＝3或 q＝（舍）， 则an＝a2qn﹣2＝3•3n﹣2＝3n﹣1； （2）选①3Sn+bn＝4， 当n≥2时，3Sn﹣1+bn﹣1＝4，又3Sn+bn＝4， 两式相减可得3bn＝3Sn﹣3Sn﹣1＝bn﹣1﹣bn， 则bn＝bn﹣1， 可得{bn}为首项为1，公比为的等比数列， 则bn＝（）n﹣1； cn＝anbn＝（）n﹣1， 可得Tn＝＝4﹣4•（）n， 由{Tn}为递增数列，可得n＝1时，Tn取得最小值1； 选②bn＝bn﹣1+2（n≥2），可得{bn}为首项为1，公差为2的等差数列， 则bn＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1， cn＝anbn＝（2n﹣1）•3n﹣1， 则Tn＝1•30+3•31+5•32+…+（2n﹣1）•3n﹣1， 3Tn＝1•3+3•32+5•33+…+（2n﹣1）•3n， 两式相减可得﹣2Tn＝1+2（31+32+…+3n﹣1）﹣（2n﹣1）•3n ＝1+2•﹣（2n﹣1）•3n， 化简可得Tn＝1+（n﹣1）•3n， 由{Tn}为递增数列，可得n＝1时，Tn取得最小值1； 选③5bn＝﹣bn﹣1（n≥2），可得{bn}为首项为1，公比为﹣的等比数列， 则bn＝（﹣）n﹣1； cn＝anbn＝（﹣）n﹣1， 可得Tn＝＝﹣•（﹣）n，T1＝1，T2＝， 当n为奇数时，＜Tn≤1；当n为偶数时，Tn≥， 可得n＝2时，Tn取得最小值． 3．（2020秋•苏州期中）已知数列{an}是公比q＞1的等比数列，若a1+a2+a3＝14，且a2+1是a1，a3的等差中项． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn＝log2an，数列的前n项和为Tn，若对n∈N*恒成立，求满足条件的自然数m的最小值． 【分析】（1）直接利用已知条件和关系式的应用求出数列的通项公式． （2）利用裂项相消法和恒成立问题的应用求出数列的和及m的最小值． 【解答】解：（1）数列{an}是公比q＞1的等比数列，若a1+a2+a3＝14，且a2+1是a1，a3的等差中项． 所以， 整理得，解得， 故． （2）由于bn＝log2an＝n， 所以， 所以＝＜1， 若对n∈N*恒成立， 只需满足即可， 故m≥4， 即满足条件的自然数m的最小值为4． 4．（2020秋•天宁区校级期中）设等比数列{an}的公比不为1，a3为a1，a2的等差中项． （1）数列{an}的公比； （2）若a1＝，设bn＝log2|an|，求++……+． 【分析】（1）设等比数列{an}的公比为q，且q不为1，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，