练习2 基本不等式-2020-2021学年【补习教材·寒假作业】高二数学（苏教版）

练习2 基本不等式 1．（2020秋•如皋市期中）若x≥y，则下列不等式中一定成立的是（　　） A．x2+y2≥2xy B． C．2x≤2y D．x2≥y2 【分析】根据完全平方公式判断A，根据基本不等式判断B，根据指数函数的性质判断C，取特殊值判断D． 【解答】解：由x2+y2﹣2xy＝（x﹣y）2≥0，故A正确； 当＜0时，选项B不成立， 由y＝2x为增函数，∵x≥y，∴2x≥2y，故C错误； 当x＝0，y＝﹣1时，选项D不正确， 故选：A． 2．（2020秋•常州期中）若x，y均大于零，且x+y＝2，则的最小值为（　　） A．5 B．4 C．9 D． 【分析】由题设利用基本不等式求得结果即可． 【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+y＝2， ∴+＝（x+y）（+）＝（5++）≥（5+2）＝，当且仅当时取“＝“， 故选：D． 3．（2020秋•南京期中）已知a＞0，b＞0且a+3b＝1，则2a+8b的最小值为（　　） A．2 B．3 C．6 D．8 【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解． 【解答】解：因为a＞0，b＞0且a+3b＝1， 则2a+8b＝2＝2， 当且仅当a＝3b＝即a＝，b＝时取等号， 故选：A． 4．（2020秋•苏州期中）已知a＞0，b＞0，a+b＝3，则的最小值为（　　） A． B． C． D．9 【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：由a＞0，b＞0，a+b＝3，可得a+b+1＝4， 则＝[a+（b+1）]（）＝＝， 当且仅当且a+b＝3即b＝，a＝时取等号， 故选：B． 5．（2020秋•高邮市期中）若对满足条件xy＝x+y（x＞0，y＞0）的任意x，y，不等式2x+y﹣k＞0恒成立，则实数k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【分析】先由xy＝x+y（x＞0，y＞0）⇒+＝1，再利用基本不等式求得2x+y的最小值，然后根据不等式2x+y﹣k＞0恒成立求得k的取值范围． 【解答】解：由xy＝x+y（x＞0，y＞0）可得：+＝1， ∴2x+y＝（2x+y）（+）＝3++≥3+2＝3+2，当且仅当时取“＝“， ∵不等式2x+y﹣k＞0恒成立， ∴k＜（2x+y）min＝3+2， 故选：B． 6．（多选）（2020秋•常州期中）设正实数a，b满足a+b＝1，则下列选项中，正确的有（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用不等式的性质和基本关系式的应用判断A、B、C、D的结论． 【解答】解：对于A：由于正实数a，b满足a+b＝1，则a+b，所以，故A正确； 对于B：＝2+≥2+2＝4，故B错误； 对于C：由于，所以，由于a+b＝1，所以，故C正确； 对于D：由于2（a2+b2）≥（a+b）2，所以成立，故D正确； 故选：ACD． 7．（多选）（2020秋•启东市期中）设正实数x，y满足x+2y＝3，则下列说法正确的是（　　） A．的最小值为4 B．xy的最大值为 C．的最小值为 D．x2+4y2的最小值为 【分析】分别根据基本不等式即可判断． 【解答】解：对于A，+＝+＝++2≥2+2＝4，当且仅当x＝y＝1时取等号，故A正确； 对于B，xy＝•x•2y≤×（）2＝×＝，当且仅当x＝2y，即x＝，y＝时取等号，故B正确； 对于C，（+）2＝x+2y+2≤3+2＝3+3＝6，则+≤，当且仅当x＝2y，即x＝，y＝时，故C错误； 对于D：x2+4y2＝（x+2y）2﹣4xy≥9﹣4×＝，x＝，y＝时取等号，故D正确． 故选：ABD． 8．（2020秋•连云港期中）已知x＞1，则x++3的最小值是　 　． 【分析】由题设条件利用基本不等式求得结果． 【解答】解：∵x＞1，∴x﹣1＞0， ∴x++3＝（x﹣1）++4≥2+4＝6，当且仅当x＝2时取“＝“， 故答案为：6． 9．（2020秋•海门市校级期中）已知x＞0，y＞0，则当取得最小值时，x﹣y＝　　 ． 【分析】由已知结合基本不等式可求出取得最小值时的x，y进而可求x﹣y． 【解答】解：x＞0，y＞0， 则≥4， 当且仅当x＝4y且4＝即y＝，x＝1时取等号， 此时x﹣y＝． 故答案为：． 10．（2020秋•菏泽期中）已知不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|2＜x＜3}，则＝　 　，b+c+的最小值为　 　． 【分析】根据不等式的解集可得a，b，c之间的关系，然后将b+c+用a表示，再用基本不等式求其最小值即可． 【解答】解：∵不等式ax2+bx+c＜0的解集为{x|2＜x＜3}， ∴2，3是方程ax2+bx+c＝0的两个根，且a＞0， ∴2+3＝﹣，2×3＝， 即b＝﹣5a，c＝6a， ∴＝﹣， ∴b+c+＝﹣5a+6a+＝a+2+﹣2≥2﹣2＝10﹣2＝8， 当且仅当a+2＝，即a＝3时