必修5 3.2.2 一元二次不等式的应用-2021-2022学年高中数学高二上册【名师导航】同步Word教参(苏教版)

第2课时　一元二次不等式的应用 学习目标：1.掌握含字母参数的一元二次不等式的解法．(重点)2.会解与一元二次不等式有关的恒成立问题．(难点)3.会以一元二次不等式为数学模型，求解相应的实际问题．(重点) 含参数的一元二次不等式的解法 　(1)解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a<0. (2)解关于x的不等式：ax2－(a－1)x－1<0(a∈R)． [思路探究]　(1)―→ ―→ [解]　(1)方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a，函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，则当a<－1时，原不等式解集为{x|a<x<－1}；当a＝－1时，原不等式解集为∅；当a>－1时，原不等式解集为{x|－1<x<a}． (2)原不等式可化为：(ax＋1)(x－1)<0， 当a＝0时，x<1； 当a>0时，(x－1)<0， ∴－<x<1； 当a＝－1时，x≠1； 当－1<a<0时，－(x－1)>0，>1， ∴x>－或x<1； 当a<－1时，－<1， ∴x>1或x<－. 综上，原不等式的解集是： 当a＝0时，{x|x<1}； 当a>0时，； 当a＝－1时，{x|x≠1}； 当－1<a<0时，； 当a<－1时，. [规律方法]　 含字母参数的一元二次不等式分类讨论的顺序： (1(若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论； (2(若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； (3(若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论. 提醒：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算. [跟踪训练] 1．解关于x的不等式2x2＋ax＋2>0(a∈R)． [解]　Δ＝a2－16，下面分情况讨论： (1)当Δ<0，即－4<a<4时，方程2x2＋ax＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R. (2)当Δ≥0，即a≥4或a≤－4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为x1＝)，(－a－ x2＝)．(－a＋ 当a＝－4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}； 当a>4或a<－4时，原不等式的解集为 ； 当a＝4时 ，原不等式的解集为 {x|x∈R，且x≠－1}. 一元二次不等式的实际应用 　某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x(百台)，其总成本为g(x)万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，并且销售收入r(x)满足r(x)＝ 假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求： (1)要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？ (2)工厂生产多少台产品时盈利最大？ [思路探究]　(1)求利润函数f(x)⇒解不等式f(x)>0⇒回答实际问题． (2)根据第(1)题所求范围，分类讨论求函数最值⇒回答实际问题． [解]　(1)依题意得g(x)＝x＋3，设利润函数为f(x)，则f(x)＝r(x)－g(x)， 所以f(x)＝ 要使工厂有盈利，则有f(x)>0，因为f(x)>0⇒ 或 ⇒则3<x≤7或7<x<10.5，即3<x<10.5，所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1 050台的范围内．或⇒或 (2)当3<x≤7时，f(x)＝0.5(x－6)2＋4.5，故当x＝6时，f(x)有最大值4.5，而当x>7时，f(x)<10.5－7＝3.5，所以当工厂生产600台产品时盈利最大． [规律方法]　解不等式应用题的一般步骤： （1）认真审题，抓住问题中的关键词，找准不等关系； （2）引入数学符号，用不等式表示不等关系，使其数学化； （3）求解不等式； （4）还原实际问题. 提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”. [跟踪训练] 2．某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围． [解]　设花卉带的宽度为x m，则中间草坪的长为(800－2x)m，宽为(600－2x)m.根据题意可得(800－2x)(600－2x)≥×800×600，整理得x2－700x＋600×100≥0，即(x－600)(x－100)≥0，所以0<x≤100或x≥600，x≥600不符合题意，舍去． 故所求花卉带宽度的范围为(0,100]m. 不等式的恒成立问题 [探究问题] 1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集是R的等价条件是什么？ [提示]　 2．不等式f(x)≤a恒成立，x∈[m，n]的等价条件是什么？ [提示]　f(x)≤a，x∈[m，n]恒成立⇔f(x)的最大值≤a，x∈[m，n]． 　设函数f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围